1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.

时间

3月18日

4月18日

4月20日

日最高气温

3.5℃

18.6℃

33.4℃

观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：

（理解图中A、B、C点的坐标的含义）

问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）

问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？

二、学生活动

1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B上升到C点，必须考察y_C―y_B的大小，但仅仅注意y_C―y_B的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？

3、在考察y_C―y_B的同时必须考察x_C―x_B，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

三、建构数学

1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x₁，x₂]上的平均变化率。实质是连接两点直线的斜率

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。

4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x₂―x₁很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。

四、数学运用

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

解：前三个月，平均体重变化率为=1（kg/月），第6个月到第12个月体重平均变化率为=0.4(kg/月)

说明：图象问题，根据点的坐标求变化率

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积               （单位：），

计算第一个10s内V的平均变化率。

解： =-0.01(cm³/s)即第一个10秒内容器甲中水的体积的平均变化率为-0.01cm³/s

说明：实际问题常常根据实际情况来确定其意义

例3、已知函数f（x）=2x+1，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。

   解答：f(x)变化率均为2

思考：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？能证明你的结论吗？（都为k）

例4、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001]。

   解答：(1)4；(2)3；（3）2.1；  （4）2.001

   变形：已知函数， 在下列区间[1,1+](n∈N^*)上的平均变化率为a_n.(1)求{a_n}的通项公式；（2）当n→∞时，求数列{a_n}趋近的值（2+，2）

   练习：求证f(x)=x³在区间[m,m+δ]上的变化率恒正

练习：教材P7----1,2

五、小结

1、平均变化率 ：一般的，函数在区间[x₁，x₂]上的平均变化率。

２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

3、y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率恒为k

六、作业：教材P16---1

[补充习题]

1、已知函数f(x)=x²-x在区间[1,t]上的平均变化率为2，则t=___________

2、已知函数f(x)=x²-tx在区间[1,2]上的平均变化率为2，则t=___________

3、计算f(x)=在区间[x₀,x₀+△x]上的平均变化率，其中x₀和x₀+△x都不为0

4、已知函数， 在下列区间[2,2+](n∈N^*)上的平均变化率为a_n.(1)求{a_n}的通项公式；（2）当n→∞时，求数列{a_n}趋近的值如果函数

5、f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，那么f(x)在任意区间[x₁,x₂]上的平均变化率有什么特点？反之是否成立

[解答]1、2;  2、1;  3、-;    4、(1)4+;(2)4;  5、平均变化率恒正，反之也成立

[教后感想与作业情况]

1.1.2瞬时变化率

[教学目标]

[教学重点、难点]瞬时变化率的实际意义和数学意义

[教学过程]

1、什么叫做平均变化率；如何求函数f(x)在区间[x_A，x_B]上的平均变化率？

2、问题：在某一处的变化率如何求？（动画显示）

二、建构数学

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x₁，f(x₁))，Q(x₀，f(x₀))，则割线PQ的斜率为，

设x₁－x₀=△x，则x₁ =△x＋x₀，

∴

当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。

2、曲线上任一点(x₀，f(x₀))切线斜率的求法：

S1:计算函数值的增加量:△y=f(x₀+△x)-f(x₀)

S2: 计算平均变化率=

S3: 当△x无限趋近于0时，k值即为(x₀，f(x₀))处切线的斜率。

练习：P11---1,2

例1、已知f(x)=x²，求曲线在x=2处的切线的斜率

解：△y=f(2+△x)-f(x)=(2+△x)²-4=4△x+(△x) ², =4+△x,当△x→0时，f(x)=x²在x=2处的切线的斜率为4

练习1：求x=0,x=-2和x=3处的切线斜率（0，-4，-6分组求）

练习2：曲线y=x³在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________((1,1),(-1,-1))

练习3：曲线f(x)=|x|在(0,0)处，有无切线？有求出，无说明理由。（无，斜率不存在）

说明：不是任意一点都有斜率

3、瞬时变化率的实际意义

思考1：若S(t)为位移，按照上面办法求得的瞬时变化率有什么实际意义？

（平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度；位移的平均变化率：；瞬时速度：当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t₀时的瞬时速度）

    思考2：若V(t)为速度，按照上面办法求得的瞬时变化率有什么实际意义？

（当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t₀时的瞬时加速度）

例2、已知一辆轿车在公路上作匀加速直线运动，假使t秒是的速度为V(t)=t²+3,求在t₀秒时的即时加速度

解：===2t₀+△t,当△t→0时，→2t₀, 在t₀秒时的即时加速度为2t₀变形练习：求t₀=2秒时的瞬时加速度       （4）

练习：教材P13---1,2

S2: 计算平均变化率=

S3: 当△x无限趋近于0时，k值即为(x₀，f(x₀))处的变化率

2、瞬时变化率的意义：(1)实际意义：在该处切线的斜率；(2)实际意义：位移对时间的瞬时变化率为瞬时速度；速度对时间的瞬时变化率为瞬时加速度

[补充习题]

1、曲线y=x²上切线倾斜角为45⁰的点是____________

2、求y=在点(1,1)处的切线方程

3、一物体运动方程为s=t³-3t²,比较t=a和t=a+1时的速度的大小

[解答]

1、；  2、x-2y+1=0；   3、a>时，a+1时速度大；a=时一样大；a<时，a+1时速度小

[教后感想与作业情况]

1.1.2导数的概念

[教学目标]

[教学重点难点]导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用

[教学过程]

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。

，故斜率为4      

2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度。

，故斜率为4  

上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，

上述两个问题中：（1），（2）

可以看出

在处的导数就是在处的切线斜率。

例1、函数，求f^./(1)与f^/(a)

解：（1）△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)²+1-2=2△x+△x²,=2+△x,f^/(1)=2

(2)△y=f(a+△x)-f(a)=(a+△x)²-a²=2a△x+△x², =2a+△x²,f^/(a)=2a

练习1：计算[f(a)]^/,比较它与f^/(a)的区别

练习2：计算f^/(x),说明它是否为x的函数

一般的，的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作

例2、已知函数，求在处的切线。

解：[方法一]△y=f(2+△x)-f(2)=-=, =,当△x→0时， f^/(2)=；故切线方程为y-2=(x-)即x-4y+4=0

[方法二] （先求导数，再求2点的导数）△y=f(x+△x)-f(x)=-=, =,当△x→0时f^/(x)=, f^/(2)=；故切线方程为y-2=(x-)即x-4y+4=0

  说明：如果先求导数时，是先求一般导数式子，再代入；不是先代入后求导

例3、函数满足，则当x无限趋近于0时，

（1）→                      

（2）→                      

解：(1)→f^/(1)=1

(2) =2→2f^/(1)=4

变式:设f(x)在x=x₀处可导，

（3）无限趋近于1，则=___________(4)

（4）无限趋近于1，则=________________(-4)

课堂练习课本第15页练习1、2、3

一个概念：在某一处的导数就是在该处的变化率，符号为或；

两个求法：一直接按变化率的步骤求，二先求一般的再代入

[补充习题]

1、函数y=f(x)的图象在x=处的切线方程为6x+2y-3=0,则f()=_________,f^/()=_______

2、求y=的导数

3、设函数y=f(x)在点x处可导，a、b为常数，当△x→0时→_____

4、根据x→0时，→1，求函数y=sinx的导数

[答案]1、-3，-3；2、；3、(a+b)f^/(x)；4、cosx

教后思考与作业情况：