（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）当△x→0时，→＝

   但是每次这样求，是否很麻烦，我们学习了一些函数，能否将我们学过的函数的导数整个求出而直接应用呢？本节主要解决这一问题。――常见函数的导数。

二、新课内容：

   1、求f(x)=kx+b(k,b为常数)的导数

   解：=k(x+△x)+b-kx-b=k△x, =k,当△x→0时，→k=f^/(x),这样我们得到

(kx+b)^/=k

思考1：当k=0时，f(x)是什么函数？其导数是多少？由之得到什么结论？（常数函数b，常数函数的导数是0）

思考2：k=1,b=0时，f(x)是什么函数？其导数是多少？由之得到什么结论？（f(x)=x,1,x^/=1）

2、学生活动：（x²）^/ ,（x³）^/, （x^-1）^/,(x^-2)^/，（）^/

这些函数都是什么函数？由之能得到什么结论？

（都是幂函数，  （为常数）

3、已知当x→0时，→0，由之求(cosx)^/

解：△y=cos(x+△x)-cosx=cosxcos△x-sinxsin△x-cosx=cosx(cos△x-1)-sinxsin△x=-2cosxsin²-sinxsin△x, =-2cosx-sinx=-2cosx-sinx→-sinx,故(cosx)^/=-sinx

以前作业中有：(sinx)^/=cosx

4、学生活动：已知当x→∞时，→e,求(lnx)^/

（==== =→），

这样：(log_ax)^/=== log_ae

我们还可以求出：(a^x)^/=a^xlna

这样我们得到一系列初等函数的导数公式：(c)'＝0(c为常数)，      (xⁿ)'＝nx^n-1，

(sinx)'＝cosx，  (cosx)'=－sinx．（a^x）^/=a^xlna,(lnx)^/=

例1、求下列函数导数。(1)  (2)y=cos(2π－x)　   （3）y=

解、(1)y=,y^/=;   (2)y=cosx,y^/=-sinx;    (3)y^/=0

练习：已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。（π<x<2π）

例2：若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.

解：()^/=-x^-2=-1,x=±1   ∴切点为(1,1)或(-1,-1)    切点为(1,1)时，b=2；切点为(-1,-1)时b=-2

练习：求曲线y=x³过点(1,1)的切线方程（3x-y-2=0）

变式练习：点(0,-1) 求曲线y=x³过的切线方程（x+2y++=0）

[补充习题]

1、写出下列曲线的切线方程(1)曲线y=sinx在点A(,1)处________(2)曲线y=在点P(8,4)处________________

2、设f₀(x)=sinx,f₁(x)=f₀^/(x),f₂(x)=f₁^/(x),……,f_n+1(x)=f_n^/(x),则f₂₀₀₈(x)=__________________

3、直线l₁与曲线y=相切于点P,直线l₂过点P且垂直于l₁,且l₂交x轴于点Q,PK⊥x轴于K,求KQ的长

4、已知f(x)=cosx,g(x)=x,求适合f^/(x)+g^/(x)≤0的x的解集

[答案]1、(1)y=1;    (2)x-3y+4=0;   2、sinx;   3、1/2；   4、{x|x=2kπ+，k∈Z}

教后反思：

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数（1）和差与实数与函数积的运算

[教学目标]

[教学难点、重点] 和差及实数与函数积的导数公式

[教学过程]

(用定义：(1)y^/=2x+1=(x²)^/+x^/   (2)y^/=2(2x+1)=2(x²+x)^/)

这里，一般的[f(x)+g(x)]^/与f^/(x)、g^/(x),[Cf(x)]^/关系是否还是这样？

二、建构数学：

猜想：[f(x)+g(x)]^/=f^/(x)+g^/(x),

验证1：

=+，当△x→0时，有[f(x)+g(x)]^/=f^/(x)+g^/(x)

学生活动：仿此验证2

思考：[f(x)-g(x)]^/=?( [f(x)-g(x)]^/=[f(x)+(-1)g(x)]^/=f^/(x)+(-1)g^/(x)=f^/(x)-g^/(x))

法则1  两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即  

法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．

例1  求下列函数的导数:(1)y=x²+sinx的导数.(2)g(x)=x³--6x+2

   解：(1)y^/=(x²)^/+(sinx)^/=2x+cosx

   (2)g^/(x)=(x³)^/-()^/-(6x)^/+2^/=3x²-3x-6

注意步骤

练习1：教材P22----1

练习2：教材P26---1(1)(2)(3),2(1)(2)

例2、求函数y=的导数

解：y^/=

注意前后x范围的变化

练习：教材P26---5

例3、已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

解：由已知f(0)=d=2,f^/(x)=3x²+2bx+c,f^/(1)=3-2b+c=62b-c=3,又6×(-1)-f(-1)+7=0f(-1)=1,b-c=0,从而b=-3,c=-3,f(x)=x³-3x²-3x+2

练习：教材P22---2

[补充习题]

1、设曲线y=在点P的切线的方向向量为，向量满足=0，过点P且与为方向的方向向量的直线交x轴于点B,点P在x轴上的射影为A,求的坐标

2、若两条曲线y=x³+ax及y=x²+bx+c都过点P(1,2)，且在这点有公切线，求a,b,c的值

3、设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线为24x+y-12=0,又函数的图象在点Q(2,-16)处的切线与x轴平行，求f(x)解析式

[答案]

1、=(,0)

2、a=1,b=2,c=-1

3、f(x)=x³+3x²-24x+12

[教后感想与作业情况]

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数（1）积商导数的运算

[教学目标]

[教学难点、重点] 积与商导数公式

[教学过程]

一、复习：1、导数的和、差与实数与函数积的导数公式

2、实数的四则运算中，有了加减，还有乘除，[f(x)g(x)]^/=?,[]^/=?

 引入主题：积与商的导数运算法则

   令，则

--+-，+于是当时，，从而+→ ，

于是有：

法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即

思考：已知f(x)的导数为f^/(x),则[f²(x)]^/是多少？[fⁿ(x)]^/呢？

例1、求函数和f(x)=sinx+xcosx的导数

解：h^/(x)=(xsinx)^/=x^/sinx+x(sinx)^/=sinx-xcosx

f^/(x)=(sinx+xcosx)^/=(sinx)^/+(xcosx)^/=-cosx+cosx-xsinx=xsinx

思考：[]^/是否等于？以为例说明不成立。那么又是多少呢？仿乘法推导可以得到：

法则4  两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即

例2、求的导数

解：[方法一]s^/(t)= ===

[方法二]s(t)=t+t^-1,s^/(t)=t^/+(t^-1)^/=1-t^-2=

练习1：求的导数

练习2：求(tanx)^/

练习3：教材P22---4(2)(3)

[补充习题]

1、填空：(1) （）^/=________________ (2)()^/=_____________

(3)()^/ =____________(4) ()^/|_x=3=___________(5)(xlnx-2^x+)^/=_________

   2、是三次函数,且，求其解析式

   3、一般的f^/(x)叫做f(x)的一阶导数，f^/(x)的导数(f^/(x))^/叫做f(x)的二阶导数，记作f^//(x)或y^//,若f(x)为二次函数，且f(1)=1,f^/(2)=2,f^//(3)=3,求f(x)的解析式

   4、曲线C₁:y=x²与C₂:y=-(x-2)²,直线l与C₁,C₂都相切，求直线l的方程

[答案]1、(1);(2)-;(3)-;(4)-;(5)lnx+1-2^xln2+

2、f(x)=x³-3x²+3

3、f(x)=x³+

4、设直线l与C₁切于(a,a²),与C₂切于(b,-(b-2)²),则l:y=2ax-a²,也是y=(4-2b)x+b²-4,二者重合，解得或，l:y=0或4x-y-4=0

[教后感想与作业情况]

1．2．3简单复合函数的导数

[教学目标]

[教学重点、难点]用定义推导简单复合函数的求导法则，型

[教学过程]

已知f(x)=(3x-1)²,求f^/(x)

[方法一]f(x)=9x²-6x+1,f^/(x)=18x-6=6(3x-1)

[方法二]f(x)=(3x-1)(3x-1),f^/(x)=(3x-1)^/(3x-1)2=6(3x-1)

思考：原函数实质是y=u²与u=3x-1的复合函数，y_u^/=2u=2(3x-1),u_x^/=3,它们与f^/(x)有什么关系？（f^/(x)=y_u^/u_x^/）

一般的，这一结论还是否成立？

二、新课内容：

   一般的，对于由y=f(u)及u=g(x)组合成的复合函数y=f[g(x)]的导数是否还有此乘机规律呢？我们来验证一下：

 =当△x→0时，△u→0,这样有y_x^/=y_u^/.u_x^/，于是有：

定理：一般的，对于由y=f(u)及u=g(x)组合成的复合函数y=f[g(x)] ，有y_x^/=y_u^/.u_x^/；特别的，当u=ax+b时，有f^/(ax+b)=f^./(u).a

例1、求下列函数的导数:(1)y=(2x-3)⁵     (2)y=ln(5x+1)

解：(1)原函数为y=u⁵及u=2x-3的复合函数，y_x^/=y_u^/.u_x^/=5u⁴.2=10(2x-3)⁴

（2）原函数为y=lnu及u=5x+1的复合函数，y_x^/=y_u^/.u_x^/=.5=

练习1：教材P25---1,2

练习2：如何推导(a^x)^/=?(设a^x=y,lna^x=lny,xlna=lny,两边对x求导数，有lna=.y^/,y^/=ylna=a^xlna)

例2、已知函数y=-(2a-1)x在(0,1)上恒有y^/>0,求a的范围

解：y^/=-(2a-1)=2^2x+1-(2a-1)>0恒成立，即2a-1<2^2x+1,0<x<1,0<2x+1<3,2<2^2x+1<8,∴2a-1≤2,a≤

思考：如果改为[0,1]，结果又如何？

例3、求函数y=log₂x的导数

解：y^/=^/.log₂x+(log₂x)^/=.2. log₂x+  =+

[补充习题]

1、f(1-x)=x²-2x+3,则f^/(x)=_________________

2、(1)(sinnx.cosnx)^/=__________________;(2)=___________(3)(2^-2x+1)^/=_____________

(4)[(ax+b)ⁿ]^/=__________________;  (5)[sin(2x+)]^/=_______________

3、求y=在x=1处的切线方程

[答案]1、2x；    2、(1)cos2nx;(2); (3) 2^-2x+2ln2;   (4)na(ax+b)^n-1;   (5)2cos(2x+)

3、x-y=0