2、求最值问题的步骤是什么？（先求极值，再与端点值比较得到最值）

问题：如何应用？又如何求实际问题的最值？

   例1、把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？

解：设长为xcm,则宽为30-xcm，0<x<30

[方法一]S=x(30-x)=-x²+30x,是x的二次函数当x=-=15时，S最大

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大

[方法二]S=x(30-x)≤=225，等号成立x=30-xx=15

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大

[方法三]S= x(30-x)=-x²+30x,S^/=-2x+30,0<x<15时S^/>0,S(x)↑；x>15时S^/<0,S(x)↓；∴当x=15时，S极大，在定义域内无其他极值，故S最大   

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大

说明1：解应用题一般有四个要点步骤：设――列――解――答

说明2：用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可。

变形1：把长为60cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分法能使正方形面积和最小？（均30cm）

变形2：把长为60cm的铁丝分成两段，一个围成一个正方形，另一个围成圆，怎样分法能使正方形和圆的面积和最小？（一段为）

例2、有一个容积为256m³的方底无盖水箱，它的高为多少时，用料最省？

解：设高为h, 底面边长为x，则x²h=256,表面积S=x²+4xh=x²+,S^/=2x-= x>8时S^/>0,S(x)↑；0<x<8时S^/<0,S(x) ↓,在x>0上只有一个极小值，故x=8时S最小此时h=4

答：高为4m时，用料最省

练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？（40cm,16000cm³）

例3、如图所示的电路图中，已知电源的内阻为r,电动势为E。当外电阻R多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

解：电功率P=I²R,其中I=为电流强度，则P=()²R=(R>0),

[方法一]P^/=E²=E²,R>r时P^/<0函数单调减，R<r时P^/>0函数单调增，而且仅有一个极值，故R=r时，P最大，最大值为

答：外电阻R=r时，电功率最大,最大电功率是

 [方法二]P==≤=，等号成立R=R=r

答：外电阻R=r时，电功率最大,最大电功率是

[方法三] P=，PR²+(2rP-E²)R+Pr²=0在R>0上有解，△=（2rP-E²）²-4P²r²≥0,P≤，

此时R=r

答：外电阻R=r时，电功率最大,最大电功率是

说明：求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解

练习：已知在某点的照度与光的强度成正比，与距光源的距离的平方成反比。强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,问在连接两个光源的线段AB上，何处照度最小？

2、用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，注意取最值时对应的自变量必须有解。

[补充习题B]

1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为_____

2、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米²，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 _____

3、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．

4、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另外两个顶点位于抛物线y=4-x²在x轴上方的曲线上，求这种矩形面积最大时的边长

[C]组5、从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t .

（Ⅰ）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；

（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值.

 [答案]1、;  2、长150米，宽米；3、；4、分别为、

5、解：（Ⅰ）由已知正方形的长为2a-2x,高为x，

（Ⅱ）

x

V′

+

0

－

[教后感想与作业情况]

1.4导数在实际生活中的应用(2)____单峰函数的最值

[教学目标]

[重点、难点]单峰函数求最值的步骤与方法

[教学流程]

思考问题：每个问题这样进行，能否进一步简化？

例1、某种圆柱形饮料溶积V一定，如何确定其高与底面半径，才能使它的用料最省？

解：设圆柱的高为h,底面半径为R，则V=πR²h,表面积S(R)=2πRh+2πR²=2(+πR²)(R>0),S^/(R)=-+4πR=0,解得R=,h=2即h=2R,∵S(R)在定义域内仅有一个极小值∴它就是最小值

答：当高与罐底直径相等时，用料最省

说明1：这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数

说明2：用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：

S1:列：列出函数关系式

S2:求：求函数的导数

S3:述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答

练习：一个底面半径为R,高为h的圆锥，求其内接圆柱体积的最大值（R²h）

例2、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：

_{可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元}

_{I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域}

_{II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？}

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 故所求函数及其定义域为

(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，y^/=S(-+b)=S=(v-)(v+)=0 ；若，函数在仅有一个极小值，则当时，全程运输成本y最小， y↑，当v=c时，全程运输成本y最小．

答：为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．

例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x)

(1)若C(x)=10^-6x³-0.003x²+5x+1000,那么生产多少单位产品时，边际成本C^/(x)最低？

(2)如果C(x)=50x+10000,产品的单价p=100-0.01x,那么怎样定价可以使利润最大？

解：(1)C^/(x)=3×10^-6x²-0.006x+5=g(x),g^/(x)=6×10^-6x-0.006=0,x=1000,而g(x)在x>0上仅有一个极小值，故x=1000时边际成本最低

1、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（      ）

2、过抛物线y=x²-3x上一点P的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积是                 ．

3、在半径为的半圆内作一内接矩形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形上底长为_________

4、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用（无论速度如何）都是每小时400元，如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为__________

5、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－x²,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)

[C组]

6、在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).

(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.

(2)当x为何值时运费最省？

答案

1、b/a ；2、8;3、r；4、20海里/小时

5、解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200－x²)x－(50000+200x)

=－x³+24000x－50000(x≥0).                                       

由f′(x)=－x²+24000=0,解得x₁=200,x₂=－200(舍去).                     

∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).

∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元

6、(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.

∴每吨货物运费y=(100－x)?3k+?5k(元)

(2)令y′=－3k+5k??k=0

∴5x－3=0∵x>0，∴解得x=15当0<x<15时，y′<0;当x>15时，y′>0

∴当x=15时，y有最小值.       答：当x为15千米时运费最省

[教后感想与作业情况]