1、导数的背景：导数是从变化率引申而来的，即时变化率即为导数；它有三个常见的实际背景与意义：⑴在某点的切线斜率；⑵位移对时间的导数就是即时速度；⑶速度对时间的导数就是即时加速度

2、导数的运算：⑴一般计算一个函数导数的方法步骤是：

S1:求函数的增量；

       S2:求平均变化率；

S3:取△x→0时极限，得导数

⑵导数的运算法则：（u±v）’ =u’±v’ ；(uv）’=u’v+uv’；（）’=；y’_x=y’_u?u’

⑶常见函数的导数：⑴ (kx+b)^/=k；⑵（xⁿ）’=nx^n-1；⑶（sinx）’ =cosx；⑷（cosx）’ = -sinx；

⑸（lnx）’ = ；⑹（a^x）’ = a^xlna

这里：xⁿ中n为实数；至于其他的如（log_ax）’ = =;（e^x）’ = e^x

二、应用举例

例1、煤场的煤堆是圆锥形堆放，圆锥母线与底面成角为α，⑴写出高h与半径r的关系；⑵传输带以0.3m³/min送煤，求半径r=.1.7m时的r的膨胀率（教材P56-----11）

解：⑴h=rtanα

⑵V=πr²h=πr³tanα，V_t^/=πr².r_t^/tanα，由0.3=π×1.7²×r_t^/tanα，r_t^/=(m/min)

说明：实际背景题要根据实际情况来确定

例2、已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求h→0时，的值

解：

练习1：上面条件不变，求在h→0时的极限值

练习2：求(tanx)^/和（）^/的值

说明：通过该例，体会一般的定义法和运算法则的求法

例3、求下列函数的导数(1)y=sin⁴3xcos³4x    (2)y=2(+)(教材P57----13)

解：(1)y^/=(sin⁴3x)^/cos³4x+sin⁴3x(cos³4x)^/=4sin³3xcos3x.3cos³4x+sin⁴3x3cos²4x(-sin4x)4=

 (2) y^/=2()^/+()^/=2[+(-)]=-)

通过此例，掌握导数运算中的复合函数方法

例4、f(x)=sinx,g(x)=sin3x,0<x<,求(1)两个函数的交点坐标（参考公式：sin3x=3sinx-4sin³x）;(2)求两曲线在交点处的夹角的余弦值（即交点处两曲线切线的夹角）（教材P56----12改编）

解：(1)sinx=3sinx-4sin³x, 0<x<,x=,交点为

(2)f^/()=cos==k₁,g^/()=3cos(3. )=-=k₂,由图形得出夹角为α，两切线倾斜角分别为α₁、α₂，有tanα=|tan(α₂-α₁)|=||=||4，从而cosα=

四：作业：[A组]教材P56----1~4,5(1)(2),6

补充习题： [B组] 1、已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。

[C组]2、求曲线x²+2y²-4x+4y=100在其上一点(x₀,y₀)的切线方程，由之你能得到什么结论？

[补充解答]

1、 解：设直线与的切点分别为，

又  

或， 的方程为： 或

2、两边对x求导数得：2x₀+4y₀y^/-4+4y^/=0,,切线为y-y₀=(x-x₀)整理得2x+4yy^/-4+4y^/=0x₀x+2y₀y-2(x+x₀)+4(y+y₀)=100,规律过二次曲线上一点(x₀,y₀)的切线方程是以x₀x代替其中x²,y₀y代替y²,代替其中的x，代替其中的y

[教后感想与作业情况]

导数与定积分复习（2）――导数的应用与定积分

[教学目标]

[教学难点、重点]导数的应用

[教学过程]

1、导数应用的常用问题：(1)求曲线切线的斜率或切线方程（注意必须在此点可导）；(2)求函数的单调性（注意分界点处能否包含）；(3)求函数的极值与最值（一般根据单调性，单峰函数可以说明）

2、定积分：（1）求法分割→以直代曲→求和→取极限（逼近））；微积分的基本定理：对于在[a,b]上可导的函数F(x),=F(b)-F(a)

（2）意义：曲边梯形的面积，力对时间的积分为功，速度对时间的积分为位移

二、应用

例1、如图，在半径为常量，圆心角为变量2θ(0<θ<2π)的扇形OAB内作内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，求圆Q半径的最大值（教材P57----16，练习导数应用）

解：设⊙P半径为x,⊙Q半径为y,⊙P切OA于E，则sinθ=,x=,同理y=

=,设sinθ=t∈(0,1),y=r,y^/=r,t=时,y_极大=y_max=

练习：f(x)=x³+ax²+bx+c,f^/(x)有两个零点-、1

(1)求a,b的值及f(x)的单调区间；  (2)f(x)<c²在[-2,2]上恒成立，求c的范围

（a=-,b=-2;增区间、，减区间[-,1],c<-1或c>2）

例2、所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.

（1）试用表示切线PQ的方程；

（2）设△QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出的最小值；

（3）根据的最大的t的范围，试求出点P横坐标的取值范围.

解：（1）

切线PQ的方程           

   （2）令y=0得                          

由解得 .  又0<t<6, ∴4<t<6，                                        

g (t)在(m, n)上单调递减，故（m, n）    

（3）当在（0，4）上单调递增，

∴P的横坐标的取值范围为.

说明：导数有时可以与其他知识结合一起进行综合，常见的有与解析几何、不等式和数列进行综合

三、总结：

[补充习题][B组]1、 已知函数在处取得极值，

（1）用表示f^/(x)；

（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.

 [补充习题解答]

1、解：（1）

   （2）由已知令＝0

①若,则当时，>0；当时，.

所以当时，在有极小值.

②同理当时，，即时，在有极小值.

综上所述：当时，在有极小值.

 [教后感想与习题情况]