1、合情推理除完全归纳法外，结论未必正确，正确得能证明，不正确得能举出反例，既不能证明又不能举出反例者只能算是种猜想；演绎推理只要前提和推理形式正确，结论就正确。

2、数学的发现思路常常是：计算猜想证明

3、综合法是由因导果，分析法是执果索因，注意书写方式上的不同；数学归纳法基于此点考虑归入演绎推理，更严格地说是合归纳与演绎为一体的一种推理。

例1：三角形的三边a、b、c分别为整数，且a≤b≤c,如果b=m(m∈N^*)，这样的三角形有多少个？解：由已知a+b=a+m>c≥m,

a值

c可取的值

三角形的个数

1

m

1

2

m,m+1

2

3

m,m+1,m+2

3

…………

m

m,m+1,m+2,……,2m-1

m

这样，三角形的个数为1+2+3+……+m=个

例2、已知函数f(x)的定义域为N^*,f(1)=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,求f(n)

解：f(m+1)=f(m)+1+m,f(m+1)-f(m)=1+m,f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(n)-f(n-1)]

=1+2+3+……+n=

   例3、已知2cos=,计算2cos,2cos的值，并猜测2cos的值

   解：2cos=,2cos=猜测2cos=

  例4、在各项为正数的数列{a_n}中，数列的前n项和为S_n,满足S_n=

(1)求a₁,a₂,a₃     (2)猜想a_n通项公式，并证明

解：(1)S₁=a₁=a₁²=1   ∵a₁>0∴a₁=1

S₂=a₁+a₂=1+a₂=a₂²+2a₂-1=0,a₂>0a₂=-1;同理，a₃=-

   (2)猜想：a_n=-

   证明：①n=1时，命题成立

②假设n=k时，猜想也成立，即a_k=,则当n=k+1时，

a_k+1=S_k+1-S_k=-=-(+)=-a_k+1²+2a_k+1-1=0,a_k+1>0a_k+1=,

由①、②知a_n=-