（1）这个对应终归是什么对应？    →

（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）

   （3）对应的矩阵如何表示？若T₁对应变换矩阵为A，T₂对应的变换矩阵为B，BA=E

 1、相关定义

  以上变换T₂、T₁称作对方的逆变换，T₁、T₂称互逆的

相应的矩阵A、B满足：AB=BA=E，称A是可逆的，B称A的逆矩阵

例1、A=,B=,C=,问B、C是否为A的逆矩阵？

解答：B不是，C是

思考1：一个矩阵A存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？

  从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A的逆矩阵为B₁、B₂，则有：B₁=B₁E=B₁（AB₂）=（B₁A）B₂=EB₂=B₂

  这样，一个矩阵A存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A^-1

思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？

   从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵

设二阶非零矩阵的逆矩阵为，则

=

即方程组  有解，①②组成的x₁,y₁的方程组要有解；③④组成的x₂、y₂的方程组也要有解

现用消去法解①②方程组。①×d得：adx₁+bdy₁=d     ②×b得：cbx₁+bdy₁=0   两式作差得到

(ad-bc)x₁=d,要有解，必须ad-bc≠0，此时x₁=,将之代入②得y₁=-

  对于③④，实质是将①②中a与c,b与d互换，从而x₂=,y₂=-

  2、结论：一个二阶非零矩阵存在逆矩阵的条件是ad-bc≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时^-1=

与原矩阵比较：分母都是ad-bc，分子主对角线互换，副对角线变为其相反数

即：主角对角积相减，四元分母尽一般；分子主角两相换，副角分子数相反

这样判断及求逆矩阵方法有几何法和代数法两个方法

例2、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，存在条件下，求其逆矩阵

(1)    (2)            (3)

   解：（1）存在逆矩阵，^-1=

   （2）不存在逆矩阵

（3）存在逆矩阵，^-1=

思考3：A=，B=    求A^-1、B^-1、(AB)^-1及B^-1A^-1，由此看出什么规律，这个规律是否对一般的情况仍然成立？

A^-1=,B^-1=,(AB)^-1=^-1=,B^-1A^-1=,(AB)^-1=B^-1A^-1

对于一般的，对应矩阵也应有(AB)^-1=B^-1A^-1

这个结论还可以用代数方法证明：(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E

根据定义有(AB)^-1=B^-1A^-1

例3、求的逆矩阵   （）

例4、A、B、C为二阶矩阵，AB=AC，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论

解：AB=ACA^-1AB=A^-1ACEB=ECB=C

这一结论可以回答：矩阵乘法的消去律在有逆矩阵条件下成立

练习：A、B、C为二阶矩阵，BA=CA，A存在逆矩阵，则B与C是否相等，证明你的结论（相等）

2、(AB)^-1=B^-1A^-1

3、A存在逆矩阵时，AB=AC或BA=CA，则B=C

[补充习题]

1、讨论矩阵存在逆矩阵的条件，当它可逆时求其逆矩阵

2、求的逆矩阵

[补充习题答案]

1、d=0时不存在逆矩阵；d≠0时，存在逆矩阵

2、

[情况反馈]

第二课时    二阶矩阵与二元一次方程组

[教学目标]

[教学难点、重点]矩阵法解方程组原理

[教学过程]

一、情景引入

消元法二求解元一次方程组

当ad－bc≠0时，方程组的解为

问题：此结论有什么规律，能否进行简单记忆？

二、新课内容

1、二阶行列式有关定义

定义：det(A) ＝＝ad－bc

因此方程组的解为    

记：D＝，D_x＝，D_y＝，所以，方程组的解为

这里D_x是将右边的常数列代替了x列，D_y是将y列用常数列代替

思考：二阶矩阵与二阶行列式有什么不同？（矩阵是数表，行列式是一个数值）

例1 求方程组的解

解：[方法一]原方程可以化为，D==-2,D_x==-13,D_y==8

所以，方程组的解为

分析二：原方程化成 之后，可以用矩阵表示为AX=B,这样A^-1AX=A^-1B,X=A^-1B

[方法二] 原方程可以化为,即=

=^-1==，故方程组的解为

   说明：方法二的解法为矩阵法，对一般的存在逆矩阵的方程组解法有直接解方法、行列式法、矩阵法，有的还有几何法

练习1：解方程组                （x=2,y=2）

练习2：解方程=               (x=4,y=1)

练习3：在矩阵M=对应的变换T_M作用下，求点P(1,0)、Q(0,1)的原象点的坐标

   例2、给定一个二阶A，=，=，≠

  求证（1）若A可逆，则有A≠A    (2)若A=A，则A不可逆，并说明其几何意义

  证明：(1)假设A=A，则A^-1 A=A^-1A，=与已知矛盾，故A≠A

(2)若A可逆，设为A^-1，则A^-1 A=A^-1A，=与已知矛盾，故A不可呢。几何意义，当一个矩阵将两个不同元素变为同一元素时，必非一一对应，矩阵不可逆

例3、研究=的解

解：是将平面上所有的点都垂直于x轴投影到y=x上，通过运算也可以得到=，x=2

所以方程组有无数多个解，满足x=2直线上所有点都是其解

   说明：不可逆，不能用行列式或逆矩阵方法求解

 [补充习题]

1、对于二元一次方程组A=,其中A=,若A₁=,A₂=,用A、A₁、A₂的行列式表示方程组的解

2、T_A是绕原点旋转60⁰的旋转变换，T_B是切变角为45⁰沿OX轴方向的切变变换，PP^/(2,4)P^//,求P和P^//的坐标

3、已知=A

[补充习题解答]

1、|A|≠0时，有唯一解x=,y= ;|A|=0,|A₁||A₂|≠0时，无解；|A|=0,|A₁||A₂|=0时有无穷多个解

2、P(1+2,-+2),P^//(6,4)

3、A=^-1-1=

[情况反馈]