北京市西城区2008年抽样测试高三数学试卷(理科) 2008.5学校班级姓名题号一二三总分15161718——青夏教育精英家教网——

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试题

北京市西城区2008年抽样测试

高三数学试卷(理科) 2008.5

学校__________ 班级__________ 姓名__________

题号

一

二

三

总分

15

16

17

18

19

20

分数

本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

第一卷(选择题共40分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设A，B是全集I的两个子集，且AB，则下列结论一定正确的是( )

A.I=AB B.I=AB C.I=B(A) D.I=A(B)

2.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，nα.则“α//β”是“m//β且n//β的( )

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.设x，yR，且2y是l+x和1-x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的( )

A.一条直线 B.一个圆

C.双曲线的一支 D.一个椭圆

4.圆(x-1)²+y²=1被直线x-y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )

A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5

5.设定点A(0，1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是( )

A. B. C.1 D.

6.从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( )

A.24种 B.36种 C.48种 D.60种

7.已知P，A，B，C是平面内四点，且++=，那么一定有( )

A.=2 B.=2

C.=2 D.=2

8.设a>l，函数y=|log_ax|的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1].定义“区间[m，n]的长度等于n-m”，若区间[m，n]长度的最小值为，则实数a的值为( )

A.11 B.6 C. D.

北京市西城区2008年抽样测试

高三数学试卷(理科) 2008.5

学校_________ 班级_________ 姓名_________

第二卷(非选择题共110分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.)

9.若复数i?(2+bi)是纯虚数，则实数b=___________.

10.设α是第三象限角，tanα=，则cosα=__________.

11.在(2x+1)⁴的展开式中，x²的系数是___________；展开式中各项系数的和为__________.

12.设向量a=(1，x)，b=(2，1-x)，若a?b<0，则实数x的取值范围是___________.

13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B，D两点的距离为___________；三棱锥D-ABC的体积是___________.

14.设函数f(x)，g(x)的定义域分别为D_f，D_g，且D_fD_g.若对于任意xD_f，都有g(x)=f(x)，则称函数g(x)为f(x)在D_g上的一个延拓函数.设f(x)=2^x(x≤0)，g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则g(x)=____________.

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分12分)

某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题，规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立.

(Ⅰ)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

(Ⅱ)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差.

16.(本小题满分12分)

设φ(0，)，函数f(x)=sin²(x+φ)，且f()=.

(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)若x[0,]，求f(x)的最大值及相应的x值.

17.(本小题满分14分)

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，

AB=1，E是DD₁的中点.

(Ⅰ)求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；

(Ⅱ)求证：B₁D⊥AE；

(Ⅲ)求二面角C-AE-D的大小.

18.(本小题满分14分)

在数列{a_n}中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3 (n≥2，且nN*).

(Ⅰ)求a₂，a₃的值；

(Ⅱ)设b_n=(nN*)，证明：{b_n}是等差数列；

(Ⅲ)求数列{a_n}的前n项和S_n.

19.(本小题满分14分)

已知抛物线的方程为x²=2py(p>0)，过点p(0，p)的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M.

(Ⅰ)证明：直线l₁和l₂的斜率之积为定值；

(Ⅱ)求点M的轨迹方程.

20.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=e^x-x(e为自然对数的底数).

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)设不等式f(x)>-ax的解集为P，且{x|0≤}x≤2}P，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)设nN*，证明：<.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.0 10. 11.24；81

12.(―∞，―1)∪（2，+∞) 13.1； 14.2^-|x|

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：

记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，

则P(A)=，P(B)=，P(C)=.

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是

P=P()=P(A)P()=×. 5分

(Ⅱ)解：

ξ可能的取值为1，2，3. 6分

P(ξ-1)=P=1

P(ξ=2)=P()=P(A)P()=，

P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=×. 9分

ξ的数学期望Eξ=1× 11分

ξ的方差Dξ= 12分

16.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解：

∵f=sin²(1+sin2)= 4分

∴sin².

∵,

∴

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sin² 8分

∵0≤x≤ 9分

当2x+=π，即x=时，cos取得最小值-1. 11分

∴f(x)在上的最大值为1，此时x= 12分

17.(本小题满分14分)

解法一：

(Ⅰ)解：

连结A₁D.

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，

∴A₁D是B₁D在平A₁ADD₁上的射影，

∴∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角. 2分

在RtΔB₁A₁D中， tanA₁DB₁=

∴∠A₁DB₁=30°，

即直线B₁D和平面A₁ADD₁，所成角的大小是30° 4分

(Ⅱ)证明：

在Rt△A₁AD和Rt△ADE中，

∵,

∴A₁AD―△ADE，

∴∠A₁DA=∠AED．

∴∠A₁DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，

∴A₁D⊥AE． 7分

由(Ⅰ)知，A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影,

根据三垂线定理得，B₁D⊥AE． 9分

(Ⅲ)解：

设A₁D∩AE=F，连结CF．

∵CD⊥平面A₁ADD₁,且AE⊥DF，

根据三垂线定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角． 11分

在Rt△ADE中，由AD?DE=AE?DF.

在Rt△FDC中，tan DFC=

∴∠DFC=60°，

即二面角C-AE-D的大小是60° 14分

解法二：

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴DA、DC、DD₁两两互相垂直．

如图，以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

1分

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B₁(1,1,).

(Ⅰ)解：

连结A₁D,∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁,

∴A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，

∴∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角． 4分

∵A₁， ∴

∴cos

∴∠A₁DB₁=30°，

即直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小是30°, 6分

(Ⅱ)证明：

∵E是DD₁的中点 ∴E, ∴

∵=-1+0+1=0，

∴B₁D⊥AE． 9分

(Ⅲ)解：

设A₁D∩AE=F，连结CF．

∵CD⊥平面A₁ADD₁, 且AE⊥DF；

根据三垂线定理得，AE⊥CF，

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角． 11分

根据平面几何知识，可求得F

∴

∴cos,

∴二面角C-AE-D的大小是60° 14分

18．(本小题满分14分)

（Ⅰ）解：

∵a₁=-3，a_n=2a_n_-1+2ⁿ+3(n≥2，且n∈N^*)，

∴a₂=2a₁+2²+3=1 2分

a₃=2a₂+2³+3=13． 4分

（Ⅱ）证明：

证法一：对于任意nN*，

∵b_n₊₁-b_n=[(a_n₊₁-2a_n)-3]=[(2ⁿ⁺¹+3)-3]=1，

∴数列{b_n}是首项为==0，公差为1的等差数列. 9分

证法二：对于任意nN*，

∵2b_n₊₁-(b_n+b_n₊₂)=2×=（4a_n₊₁-4a_n-a_n₊₂-3）

=[2(a_n₊₁-2a_n)-(a_n₊₂-2a_n₊₁)-3]=[2(2ⁿ⁺¹+3)-(2ⁿ⁺²+3)-3]=0，

∴2b_n₊₁=b_n+b_n₊₂，

∴数例{b_n}是首项为=0，公差为b₂-b₁=1的等差数列. 9分

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）得，=0 + (n-1)×1，

∴a_n=(n-1)?2ⁿ-3(nN*). 10分

∴S_n=-3+（1×2²-3）+（2×2³-3）+…+[（n-1）?2ⁿ-3]，

即S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)?2ⁿ-3n.

设T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+(n-1)?2ⁿ，

则2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+(n-1)?2ⁿ⁺¹，

两式相减得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）?2ⁿ⁺¹=-(n-1)?2ⁿ⁺¹，

整理得，T_n=4+（n-2）?2ⁿ⁺¹，

从而S_n=4+(n-2)?2ⁿ⁺¹-3n(nN*). 14分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：

依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0. 2分

设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则x₁x₂=-2p². 3分

将抛物线的方程改写为y=，求导得y′=

所以过点A的切线l₁的斜率是k₁=，过点B的切线l₂的斜率是k₂=，

故k₁k₂=，所以直线l₁和l₂的斜率之积为定值-2. 6分

（Ⅱ）解：

设M（x,y）.因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁(x-x₁)，即，

同理，直线l₂的方程为，

联立这两个方程，消去y得，

整理得(x₁-x₂)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=. 10分

此时y=. 12分

由(Ⅰ)知，x₁+x₂=2pk，所以x==pkR,

所以点M的轨迹方程是y=-p. 14分

20.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：

f(x)的导数f′(x)=e^x-1.

令f′(x)＞0，解得x＞0；令f′(x)＜0，解得x＜0.

从而f(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增.

所以，当x=0时，f(x)取得最小值1. 3分

(Ⅱ)解：

因为不等式f(x)＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}P，

所以对于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立. 4分

由f(x)＞ax，得(a+1)x＜e^x.

当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈(0,2]的情况. 5分

将（a+1）x＜e^x变形为a＜，

令g（x）=-1，则g(x)的导数g′(x)=，

令g′(x)＞0，解得x＞1；令g′(x)＜0，解得x＜1.

从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增.

所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，

从而实数a的取值范围是（－∞，e-1）. 8分

(Ⅲ)证明：

由(Ⅰ)得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x. 9分

令x=(n∈N*,i=1，2，…，n-1)，则0＜1＜

∴ (i=1，2，…，n-1)，

即 (i=1，2，…，n-1).

∴

∵e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1=，

∴ 14分

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