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    文科数学试卷　第页(共8页)

    上饶市2008－2009学年度高三年级第一次模拟考试

    文科数学试题卷

    命题人：刘烈庆　郑丽峰　董乐华

    本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.

    参考公式

    如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　球的表面积公式

    　　P(A＋B)＝P(A)＋P(B)  S＝4πR2

    如果事件A、B相互独立，那么  其中R表示球的半径

    　　P(A?B)＝P(A)?P(B)  球的体积公式

    如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么   V＝πR3

    n次独立重复试验中恰好发生k次的概率  其中R表示球的半径

    Pn(k)＝CPk(1－P)n－k

    第Ⅰ卷

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N等于

    A.{0}　　　　　B.{0,2}　　　　C.{1,2}　　　　D.{0,1}

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    2.已知{an}是等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为

    A.4  B.  C.－4  D.－

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    3.某大型超市销售的四种乳类商品：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是

    A.5  B.4  C.7  D.6

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    4.(x－)9的展开式的第3项是

    A.－84x3  B.84x3  C.36x5  D.－36x5

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    5.函数y＝3sin(2x＋)的图象按向量a平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则向量a的坐标可能为

    A.(－，0)  B.(，0)  C.(－，0)  D.(，0)

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    6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围是

    A.(1，)  B.(1，)∪(，＋∞)

    C.(，＋ ∞)  D.[，＋∞)

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    7.已知函数f(x)＝则f(f())的值为

    A.0  B.1  C.－  D.－

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    8.一个班级里，男生占四分之一，女生中有三分之一得过第一名，而男生中只有十分之一得过第一名，随机地选一位学生，则这位学生得过第一名的概率是

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    A.0.043  B.0.033  C.0.217  D.0.275

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    9.已知平面α与β所成的角为80°，P为α，β外的一定点，过点P的直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有

    A.1条  B.2条  C.3条  D.4条

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    10.如果实数x、y满足条件那么4x()y的最大值为

    A.2  B.1  C.  D.

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    11.由△OAB三边所在直线将半平面分成如图所示的四个区域S1、S2、S3、S4(包含边界)，向量＝x＋y，且x≤0，y＋x－1≥0，则点P所在的区域是

    A.S1  B.S2

    C.S3  D.S4

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    12.若不等式[(1－x)t－x]lg x<0对任意正整数t恒成立，则实数x的取值范围是

    A.{x|x>1}  B.

    C.  D.

    第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)

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    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.

    13.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，则＝　　　　.

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    14.△ABC中，三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B＝60°，不等式－x2＋6x－8>0的解集为{x|a<x<c}，则b＝　　　　.

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    15.已知＋＝1(m>0，n>0)，当mn取得最小值时，直线y＝－x＋2与曲线＋＝1的交点个数为　　　　.

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    16.已知半径为2的球被夹角为60°的两个平面分别截得两个圆，若两圆公共弦长为2，则两圆的圆心距离等于(注：两平面的夹角是指两相交平面所成的二面角中不大于90°的二面角)　　　　.

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    三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.(本小题满分12分)

    已知向量a＝(2cos ，1)，向量b＝(sin(＋)，－1).令f(x)＝a?b.

    (1)求f(x)的单调增区间；

    (2)若x∈[0，)时，f(x)－m>1恒成立，求m的取值范围.

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    18.(本小题满分12分)

    美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国股市，甲，乙，丙，丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”，若四人商定在圈定的6支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同).

    (1)求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一支股票的概率；

    (2)求甲、乙、丙、丁四人中至少有三人买到同一支股票的概率.

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    19.(本小题满分12分)

    如图：在各棱长均为2的三棱柱ABC―A1B1C1中，AC1＝2，侧面A1ACC1⊥底面ABC.

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    (1)求三棱柱ABC―A1B1C1的体积V；

    (2)求棱A1B1与平面AB1C所成角的正弦值.

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    20.(本小题满分12分)

    已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上.

    (1)求数列{an}的通项公式；

    (2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

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    21.(本小题满分12分)

    已知函数F(x)＝x4－bx2＋3bx.

    (1)若F(x)有三个极值点，求b的取值范围；

    (2)若F(x)在[1,2]上是增函数，求b的取值范围.

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    22.(本小题满分14分)

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    标准椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，M(，1)在椭圆上，且?＝0.

    (1)求椭圆方程；

    (2)若N在椭圆上，O为原点，直线l的方向向量为，若l交椭圆于A、B两点，且NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NA、NB)，则称N点为椭圆的特征点，求该椭圆的特征点.

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    文科数学参考答案和评分标准

     

    1.B　2.C　3.D　4.C　5.B　6.C　7.B　8.D　9.D　10.A　11.D　12.C

    13.1　14.2　15.2　16.

    17.解：f(x)＝2sin(＋)?cos－1

    ＝sin x＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分

    (1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.

    ∴f(x)的单调增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分

    (2)当x∈[0，)时，x＋∈[，)，则sin(x＋)有最小值，

    此时f(x)min＝1，故由题意得1－m>1⇒m<0.12分

    18.解：(1)四人恰好买到同一支股票的概率P1＝6××××＝.6分

    (2)四人中有三人恰好买到同一支股票的概率P2＝＝＝.

    所以四人中至少有三人买到同一支股票的概率P＝P1＋P2＝＝.12分

    19.解：(1)∵AC1＝2，∴∠A1AC＝60°.

    又∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，则A1O⊥平面ABC，2分

    可得AO＝1，A1O＝，∵正△ABC的面积S△ABC＝3，

    ∴三棱柱ABC―A1B1C1的体积V＝A1O?S△ABC＝?＝36分

    (2)(法一)：以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.

    ∵AO＝1，BO⊥AC.则A(0，－1,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，B1(，1，).

    ∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).

    设平面AB1C的法向量为n＝(x，y,1)，由

    解得n＝(－1,0,1)，10分

    由cos〈，n〉＝－得：棱A1B1与平面AB1C所成角的正弦值为.12分

    (2)(法二)：如图可得B1C＝＝，△ABM中，得AM＝，∴AB1＝，AC＝2，∴AC⊥B1C.∴S△AB1C＝.设B到平面AB1C的距离是d，则有d＝＝＝.9分

    设棱AB与平面AB1C所成的角的大小是θ，则sin θ＝＝，又AB∥A1B1，

    ∴A1B1与平面AB1C所成的角的大小是arcsin.12分

    20.解：(1)设这二次函数为f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f ′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.2分

    又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.3分

    当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.4分

    当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，5分

    所以，an＝6n－5(n∈N*).6分

    (2)由(1)得知bn＝＝＝(－)，8分

    故Tn＝i＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－).10分

    因此，要使(1－)<(n∈N*)成立，

    必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.12分

    21.解：(1)F′(x)＝x3－3bx＋3b，设g(x)＝x3－3bx＋3b.则g′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b).2分

    依题意，方程g(x)＝0有三个不等实根，∴首先b>0，于是

    x

    (－∞，－)

    －

    (－，)

    (，＋∞)

    g′(x)

    ＋

    0

    －

    0

    ＋

    g(x)

    ?

    极大值

    ?

    极小值

    ?

    ∴g(x)极大值＝g(－)＝2b＋3b>0，g(x)极小值＝g()＝3b－2b.

    依题意：g()<0.解得b>.6分

    (2)依题意：g(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立.

    ①若b≤1时，则g′(x)≥0，x∈[1,2].此时g(x)min＝g(1)＝1>0.符合.8分

    ②若1<b<4时，则g′(x)＝0得x＝.当x∈(1，)时，有g′(x)<0；

    当x∈(，2)时，有g′(x)>0.

    ∴g(x)min＝g()＝3b－2b≥0.解得1<b≤.10分

    ③若b≥4时，则g′(x)≤0.∴g(x)min＝g(2)＝8－3b≥0⇒b≤，矛盾.

    综上，b的取值范围是b≤.12分

    22.解：(1)在Rt△F1MF2中，|OM|＝＝2知c＝2，2分

    则解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆方程为＋＝1.6分

    (2)设N(m，n)(m≠0)，l为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

    由y＝x＋t与＋＝1得(＋)x2＋tx＋－1＝0.8分

    ∴x1＋x2＝－mnt，x1x2＝m2(－1)，①10分

    ∴kNA＋kNB＝＋＝

    ＝，12分

    将①式代入得kNA＋kNB＝.

    又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得kNA＋kNB＝0，

    ∴n2＝1代入＋＝1，得m2＝3，∴N(±，±1).14分

     

     

     


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