梅县华侨中学高二第二学期中段考试
数学试题 （理科） 2009-4
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 
比
大
(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
(3) 
的充要条件为
(4)如果让实数
与
对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，
其中正确的命题个数是（ ）
A． B．
C．
D．
2．
的虚部为( )
A．
B．
C．
D．
3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )
A．
B．
C．
为实数 
D．
为实数
4．设
则
的关系是( )
A．
B．
C．
D．无法确定
5．
的值是( )
A． 
B． 
C． D．
6．已知
集合
的元素个数是( )
A. B. C. 
D. 无数个
7．若复数
满足
,则
的值等于( )
A． B． C．
D．
8．已知
,那么复数在平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B． 第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．若
,则等于
( )
A． B． C．
D．
10．给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数;
(2)满足
的复数的轨迹是椭圆;
(3)若
,则
其中正确命题的序号是( )
A.
B.
C.
D. 
二、填空题（每小题5分， 4题共20分）。
11.
若复数
是纯虚数,则= .
12.
已知
则
= .
13.
若
,那么
的值是
.
14.
计算
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本题 13 分）
设复数满足
,且
是纯虚数,求
.
16．（本题 13 分）
计算下列定积分的值
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
；
17．（本题 13 分）已知复数满足: 
求
的值.
18．（本题 13 分）
用数学归纳法证明：
能被9整除
19．（本题 14 分）
求曲线
与
轴所围成的图形的面积．
20．（本题 14 分）
设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（3）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
梅县华侨中学高二第二学期中段考试
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
ADBAC BCABC
※1．A (1) 
比
大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
（3）
的充要条件为
是错误的，因为没有表明
是否是实数；
（4）当
时，没有纯虚数和它对应
※2．D 
，虚部为
※3．B 
；
，反之不行，例如
；
为实数不能推出
，例如
；对于任何
，
都是实数
※4．A 
※5．C 
※6．B 
※7．C
，
※8．A
※9．B
※10．C
二、填空题（每小题5分， 4题共20分）。
※11．
※12．
※13．
※14．
记
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15（本题 13 分）
解：设
，由
得
；
是纯虚数，则
，
16．（本题 13 分）
1）
（2）
（3）
（4）
17（本题 13 分）
解：设，而
即
则
18．（本题 13 分）
略
19．（本题 14 分）
解：首先求出函数
的零点：
，
，
.又易判断出在
内，图形在
轴下方，在
内，图形在轴上方，
所以所求面积为
20．（本题 14 分）
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=
.
（3）依题意，有
，
∴
，－
t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－
.
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