绝密★启用前【博恩试卷联考版?2009届高三第一次?数学试题?A区专用?第页(共6页)】博　恩　试　卷

联　考　版

数学试题?第一次

命题　北京博恩教育数学研究室

(试卷总分150分　考试时间120分钟)

注：本试卷以选修部分、函数部分内容为主。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

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三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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1.C(系数最大项，即是二项式系数最大的项是中间项，2n为偶数，所以中间项为第n＋1项，故选C.)2.C(因集合有两个不同的元素，所以方程ax²－2x＋1＝0有两个不等的解，即 a≠0，Δ＝(－2)²－4a＞0， ∴a ＜1且a≠0.所以实数a的最大整数解是－1.故选 C.)

3.D(由题意可知≠1，解得x≠1，x≠2，故选D)

4.(理)C(∵ ＝

＝ ＝.故选 C.)

(文)B(因为 f′(x)<0(a <x <b)，所以函数f(x)在区间(a， b) 是减函数，又f(b)>0，所以函数f(x)在(a，b)内必有f(x)>0.故选B)

5.(理)D(珍藏系列金银、金玉新工艺纪念章和摆件中先去掉一款，分层抽样时每层都是整数，故选D.)

(文)B(∵＝，∴12400×＝124，故选B.)

6.(理)C(∵f(x) ＝2x²－lnx的定义域为{x| x>0}，又f′(x)＝，令f′(x)>0即>0，由定义域为{x| x>0}，只须解得x>，因此选C.)

(文)C(因为f(x)＝x³＋x－2，所以f′(x)＝3x²＋1.直线y＝4x－1的斜率为4，令f′(x)＝3x²＋1＝4，得x＝±1，f(1)＝0，f(－1)＝－4.f(1)＝0，f(－1)＝－4.所以曲线f(x)＝x³＋x－2在点(1,0)、(－1，－4)处的切线与直线y＝4x－1平行.故选C.)

7.C(当a≠0时，f(x)的图像的对称轴为直线x＝1，f(x)＝ax²－2ax＋c，，∴ a<0，b＝－2a>0，∵ 3a＋c<0，a<0，∴ 4a＋c<0，即c<2b.选C.)

8.(理)B( 抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为＝，Eξ＝80×＝25，故选B)

(文)D(因为＝2，s²＝；所以＝3－2＝4，

S²＝9s²＝3，故选D)

9.B(令f(x)＝x⁴－4x³－2，则f′(x)＝4x³－12x²＝4x²(x－3)，所以在区间x∈[－1,4]，f(x)_min＝f(3)＝－29.即－29＞－a，∴a>29，故选 B)

10.C(由题意知p，q中有且仅有一个真命题.

若p真，∵2x－x²＝－(x－1)²＋1≤1，()^x＋4＞4；∴ 1＜m≤4，若q真，则7－2m>1，即m<3. ∴或，即3≤m≤4或m≤1.故选C)

11.B(令x＝－2即f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函数，即 f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)， 故f(x)的周期为4.f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，f(4)＝f(0)＝0.f(2008)＝f(502×4)＝f(0)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋… ＋f(2007)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋ f (2007)＋ f (2008) ＝ 502[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝2008，故选B.)

12.(理)C(原式可看成点P ( 1， 3 )、Q (－，)两点连线的斜率.令x＝－，y＝(0≤y≤1)；所以x²＋y²＝1(－1≤x≤0 ) .即点Q位于单位圆在第二象限的圆弧上且端点的坐标分别是B (－1,0)、C (0,1). ∴k_PB＝；k_PC＝2，设过点P与圆弧有公共点的直线方程为l：kx－y－k＋3＝0，则≤1，即k≤.结合图形综上可知：A∈[，2].故选C.)

(文)B(思路一：令x＝，y＝.则x²＋y²＝1(x≥0，y≥0).x＝sinθ，y＝cosθ(0≤θ≤). 所以A＝x＋y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)  ，又≤θ＋≤.则A ∈[1，]，故选B.

思路二：A²＝1＋2＝1＋2，当m＝时，A²最大值为2；当m＝1或4时，A²最小值为1.又∵A＞0，则A∈[1，]，故选B.)

13.(理)0(因为f(x₁)＝f(x₂)＝2008，所以x₁＋x₂＝－.则f(x₁＋x₂)＝0.故答案为0)

(文) (原式＝2log₃2－5log₃2＋2＋3log₃2＋＝，故答案为 )

14.(理) (首先对这20个数按被3除的余数分类①1,4,7,10,13,16,19.②2,5,8,11,14,17,20.③3,6,9,12,15,18. 故所求的概率是＝ .故答案为 )

(文)(因为此问题可看成编号为1,2,3，…，n的n个人进行摸奖且每人摸一张， 编号为k的人摸到一号奖券，又每人摸到每一个号的概率相同.故答案为.)

15.300(小于90km/h的概率为0.01＋0.02＋0.04＝0.07，所以不小于90km/h的概率为0.03，共由1000辆汽车，所以这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有300辆，故答案为300.)

16.9(因为函数解析式为y＝x²且值域为{1,4}，所以x＝±1，±2.故“同族函数”共有C ?C＋2C ?C＋C ?C ＝9，故答案为9.)

17.解：(1)当 x<0时，－x>0，f(－x)＝－(x)²＋2(－x)＝－x²－2x　　1分

       又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x²－2x，

∴f(x)＝x²＋2x，∴m＝2，y＝f(x)的

图象如右所示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

 

(2)由(1)知

f(x)＝ ，由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，

要使地f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，

只需　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

解之得－3≤a<－1或1<a≤310分

18.解：(1)因为 f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a²＋6a＋b－3，∵f(1)＞0　∴ a²－6a＋3－b<0，Δ＝24＋4b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

当b ≤－6时，Δ≤0，∴f(1)＞0的解集为Φ　　　　　　　　　　4分

当b＞－6时，3－＜a ＜3＋.

∴f(1)＞0的解集为{a|3－<a<3＋}　　　　　　　　　6分

(2)∵ 不等式－3x²＋a(6－a)x＋b＞0的解集为(－1,3)

∴f(x)＞0与不等式(x＋1)(x－3)＜0同解　　　　　　　　　　　　8分

∵3x²－a(6－a)x－b＜0解集为(－1,3)　　　　　　　　　　　　　10分

∴，解之得　　　　　　　　　　　12分

19.解：(理)(1)设连对的个数为y，得分为ξ，则y＝0,1,2,4

 因此ξ的所有可能的取值为0,2,4,8　　　　　　　　　　　　2分

P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝8)＝＝.　　9分

数学?第页(见反面)所以ξ的分布列为

ξ

0

2

4

8

P

10分

(2)Eξ＝0×＋2×＋4×＋8×＝2

答：该爱好者得分的数学期望为2　　　　　　　　　　　　　　　12分

(文)(1)抽出的产品中恰有1件正品的可能情况有CC＝12种　　　　　　2分

从这7件产品中一次性随机抽出3件的所有可能有C＝35种　　　　　　4分

则抽出的产品中恰有1件正品数的概率为＝　　　　　　　　　……6分

(2)抽出的产品中正品件数不少于次品件数的可能情况有CC＋CC＋C＝31种　9分

从这7件产品中一次性随机抽出4件的所有可能有C＝35种　　　　　11分

所以抽出的产品中正品件数不少于次品件数的概率为　　　　　　　12分

20.解：(理)(1)由f(x)＝－(x≤－1)得f^－1(x)＝－(x≤0)，a_n＝f^－1(a_n－1)＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

由a₁＝－1，得a₂＝－，a₃＝－，a₄＝－，猜想a_n＝－.　　　4分

①当n＝1时，a₁＝－1＝－，猜想成立；　　　　　　　　　　5分

数学?第页②设n＝k时猜想成立，即a_k＝－，当n＝k＋1时，

a_k＋1＝－＝－

＝－，即猜想对n＝k＋1时也成立.

由①、②知，a_n＝－对一切n∈N^*成立.　　　　　　　　………8分

(2)  ＝ ＝

＝ ＝－1.　　　　　　　　　　　　12分

(文)(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x²＋2x＋)＝3240×(0.9x³－4.8x²＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x²－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，

因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。　　　　　　12分

21.解：(理)(1)由题设可知，f′(x)＝3x²－4ax－3a²且f′(－1)＞0，f′(1)＜0.

即3＋4a－3a²＞0，∴＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　2分

又3－4a－3a²＜0，∴＞a或 a＞　　　　　　　　　　　　4分

 ∴＜a＜.故a＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)由题设可知，f(x)＝x³－2x²－3x，g(x)＝x³＋(1＋b)x²－b，∴g(x)－f(x)＝(b＋3)x²＋3x－b≥0在区间[－1,2]上恒成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

?)当b＋3＝0，即b＝－3时，g(x)－f(x)＝3(x＋1)≥0在区间[－1,2]上恒成立.　　　8分

?)当 b＋3≠0，即g(x)－f(x)＝(b ＋ 3)x²＋3x－b＝(b＋3)(x ＋ 1)(x－)≥0，在区间[－1,2]上恒成立

①当b＋3＞0，令 (b ＋ 3)(x ＋ 1)(x － )＝ 0，解得 x ＝－1； x ＝.由题设可知；x＝≤－1，即－3＜b≤－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

②当b＋3＜0，令(b ＋ 3)(x ＋ 1)(x－)＝0，解得x＝－1；x＝.由题设可知；x＝≥2，即－6≤b＜－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

综上可知： 实数b的取值范围是－6≤b≤－　　　　　　　　　　　　　………12分

(文)f′(x)＝－3x²＋2ax＋b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分                

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　2分

(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0　　　　　　　3分

解得a＝－2，b＝4，c＝－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

所以f(x)＝－x³－2x²＋4x－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x²－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

则，得b≥4，　　　　　　　　　　　　　　　10分

所以实数b的取值范围为[4＋∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22.解：(1)①当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x 得x≥.∴≤x≤1.

②当1＜x≤2时，因x－1≤x 恒成立.∴1＜x≤2.

由①②得f(x)≤x 的解集为{x|≤x≤2}.　　　　　　　　　　　　　　　　3分

       (2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，

∴当x＝0时，f₃(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；

  当 x＝1时，f₃(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；

  当x＝2时，f₃(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.

即对任意x∈A，恒有f₃(x)＝x. 6分 (8分)

   (3)f₁()＝2(1－)＝，f₂()＝f(f())＝f()＝，f₃()＝f(f₂())＝f()＝－1＝，f₄()＝f(f₃())＝f()＝2(1－)＝，

   一般地，f_4k＋r()＝f_r() (k，r∈ N^*) ∴ f₂₀₀₇()＝f₃() ＝ 　　　9分　 (12分)

   (4)(理)由(1)知，f()＝，∴f_n()＝.则f₁₂()＝.∴∈B .

   由(2)知，对x＝0，或1，或2，恒有f₃(x)＝x，∴f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x.则0,1,2∈B.

    由(3)知，对x＝，，，，恒有f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x，∴，，，∈B.

  综上所述，，0,1,2， ，，，∈B. ∴B中至少含有8个元素.　　12分