1.已知复数z₁＝2＋mi(m∈R)，z₂＝4－3i，若z₁?z₂为实数，则m的值为

A.　　　　　 B.－　　　　　 C.－　　　　　 D.

2.设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，那么“m∈A”是“m∈B”的

A.充分而不必要条件  　B.必要而不充分条件        C.充要条件  　　D.既不充分也不必要条件

3.若a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是     

A.2a²＞2b²                B.log₂＜log₂           C.log|a|＞log|b|  　　D.2－＞2－

4.已知数列{a_n}为等差数列，且a₅＋a₉＝，则tan(a₂＋a₁₂)等于

A.            B.－                C.±          D.－

5.已知函数f(x)＝在x＝1处连续，则 (＋)等于

A.－1           B.1                C.            D.

6.要得到一个奇函数，只需将函数f(x)＝sin x－cos x的图象

A.向右平移个单位          B.向右平移个单位     C.向左平移个单位          D.向左平移个单位

7.若函数y＝f(x＋1)与y＝e^2x＋2的图象关于直线y＝x对称，则f(x)等于

A.ln x－1(x＞0)        B.ln(x－1)－1(x＞0)         C.ln(x＋1)－1(x＞－1)    D.ln(x＋1)－1(x＞0)

8.若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，则有

A.＝＋2     B.＝＋　C.＝＋  D.＝2＋

9.如右图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为

A.          B.1－        C.－1        D.

10.已知函数f(x)＝x²＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x－y＋2＝0平行，数列{}的前n项和为S_n，则S₂₀₀₉的值为

A.               B.               C.               D.

11.在平行四边形ABCD中，?＝0，且2²＋²＝1，沿BD折成直二面角A―BD―C，则三棱锥A―BCD的外接球的体积是

A.            B.            C.              D.

12.已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0).对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；      ②函数f(x)在R上是连续的；

③函数f(x)在R上存在反函数； 　④对任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f()＜.

其中正确命题的个数是

A.1       B.2       C.3       D.4

第Ⅱ卷

13.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y²＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为　　　　.

14.已知实数x，y满足条件则z＝()^x＋y的最小值为　　　　.

15.已知(1＋x)＋(1＋x)²＋(1＋x)³＋…＋(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ，且a₀＋a₁＋a₂＋…＋a_n＝126，则二项式(3－)ⁿ的展开式中常数项为　　　　.

16.已知正态分布的概率密度函数f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，Φ(1.2)＝0.8848，Φ(0.2)＝0.5793，某正态总体的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则σ＝　　　　，总体落入区间(－1.2,0.2)的概率为　　　　.

17.(本小题满分12分)

已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函数f(x)＝a?b.

(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；

(2)若f(θ)＝，求cos 2(－2θ)的值.

18.(本小题满分12分)

李先生居住在北京的A处，准备开车到鸟巢所在的B处看比赛，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图(例如A→C→D算两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为).

(1)为了能在最短的时间内到达鸟巢，请你为李先生选择一条由A到B的路线，使途中发生堵车事件的概率最小；

(2)若记按路线A→C→F→B行驶过程中遇到堵车事件的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

19.(本小题满分12分)

如图，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC＝1，AA₁＝.

(1)求证：BC₁∥平面A₁DC；

(2)求二面角D―A₁C―A的大小.

20.(本小题满分12分)

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n＋1＝S_n－3ⁿ.

(1)当a₁＝1时，用n表示S_n；

(2)求首项a₁的取值范围，使{a_n}是递减数列.

21.(本小题满分12分)

设椭圆＋y²＝1的两个焦点是F₁(－c,0)与F₂(c,0)(c＞0)，且椭圆上存在点M，使?＝0.

(1)若直线t：y＝x＋2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|＋|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；

(2)在条件(1)下的椭圆方程，是否存在斜率为k(k≠0)的直线t，与椭圆交于不同的两点A、B，满足＝，且使得过点Q，N(0，－1)两点的直线NQ满足?＝0.若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.

22.(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x²－x在x＝0处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln＜都成立.

高三数学（理）三模答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

A

D

B

C

D

B

C

A

C

D

C

13．                 14．                 15．                   16．1   0.4641

17．解：（1）因为，，

所以．

因此，当，即时，取得最大值．

（2）由及，得，

两边平方得，即．

因此，．

18．解：（1）A→C→D→B堵车概率

A→C→F→B堵车概率

A→E→F→B堵车概率

因为，所以按路线A→C→F→B行驶

（2）可取值0，1，2，3

，，，

0

1

2

3

P

∴

19．（1）证明：连结AC₁交A₁C于点G，连续DG，

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平等四边形，

∴AC＝GC₁，

∵AD＝DB，∴DG∥BC₁

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁∥平面A₁DC．

（2）过点D作DE⊥AC交AC于E，过点DF⊥A₁C交A₁C于F，连续EF。

∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC平面ACC₁A₁＝AC，

∴DE⊥平ACC₁A₁．

∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影．

∴EF⊥A₁C，

∴∠DFE是二面角D－A₁C－A的平面角，

在直角三角形ADC中，DE＝．同理可求：

∴．∴．∴．

解法二：过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B₁C₁于E。

因为平面ABC⊥平面CBB₁C₁

所以AO⊥平面CBB₁C₁，分别以CB、OE、OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，因为BC＝1，AA₁＝，是等边三角形，所以O为BC的中点，则，，．，

．．

（2）可求平面ACA₁的一个法向量为．

平面的一个法向量为

设二面角D－A₁C－A的大小为，则，

∵　∴．

20．（本小题满分12分）

解：（1）由得，即，

，而

，∴是等比数列，

，∴。

（2）由（1）可知，，.

当时，

，

是递减数列对恒成立。

21．（本小题满分12分）

解：（1）由，得，

，

解得或（舍去），∴此时

当且仅当时，得最小值，

此时椭圆方程为

　（2）由知点Q是AB的中点，设A，B两点的坐标分别为

中点Q的坐标为，则，

两式相减得，∴

∴AB的中点Q的轨迹为直线①，且在椭圆内的部分

又由可知，所以直线NQ的斜率为，

方程为②，①②两式联立可求得点Q的坐标为

∵点Q必在椭圆内∴，解得，

又∵，∴

22．（本小题满分14分）

解：（1），∵时，取得极值，∴，

故，解得。经检验符合题意。

（2）由知，由，

得。令，

则在上恰有两个不同的实数根，

等价于在上恰有两个不同实数根。

，

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减；

依题意有∴。

　（3）的定义域为。

由（1）知。令时，或（舍去），

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减。

∴为在上的最大值。

∴，故（当且仅当时，等号成立）。

对任意正整数，取得，，故。