2008年河北省高中数学竞赛试题
（时间：
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数
的图像过点（-1，3），则函数
的图像关于
轴对称的图形一定过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4
B
3．若函数
有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A 
B 
C 
D 
4．已知
则
的最小值是（ ）．
A 
B
C
2
D 1
5．已知
，则
的取值范围是（ ）．
A 
B 
C 
D 
6．函数是
上的单调递增函数，当
时，
，且
，则
的值等于（ ）．
A 1 B
二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合
，
是S的子集，且
满足：
，
，那么满足条件的子集的个数为 ．
8．已知数列
满足
，则
=___ .
9．已知坐标平面上三点
，
是坐标平面上的点，且
，则点的轨迹方程为
．
10． 在三棱锥
中，
，
，
，
，
，
．则三棱锥体积的最大值为 ．
11． 从m个男生，n个女生（
）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 ．
12．
是平面上不共线三点，向量
，
，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量
．若
，
，则
的值是
____
____．
三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）
13．
是两个不相等的正数，且满足
，求所有可能的整数c,使得
.
14．如图，斜三棱柱
的所有棱长均为
，侧面
底面
，且
.
（1） 求异面直线
与
间的距离；
（2） 求侧面
与底面所成二面角的度数．
15．设向量
为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量
，
，且
．
（1）求满足上述条件的点
的轨迹方程；
（2）设
，问是否存在常数
，使得
恒成立？证明你的结论．
16．在数列
中，
，
是给定的非零整数，
．
（1）若
，
，求
；
（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
17． 设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：
①对于
，总有
，且
，
；
②对于
，若
，则
．
证明：（1）
（）；（2）
时，
．
一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）
1．函数
的图像过点（-1，3），则函数
的图像关于
轴对称的图形一定过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
答案：B.
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4
B
答案：C.
解： 设
，即
．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且
与
只能同为偶数，因此对应的方程组为
故
共有8组不同的值：
；
．
3．若函数
有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A 
B 
C 
D 
答案：C．
解：当时，
是递减函数，由于
没有最大值，所以没有最小值；当
时，有最小值等价于有大于0的最小值．这等价于
，因此．
4．已知
则
的最小值是（ ）．
A 
B
C
2
D 1
答案：A.
解：记
，则
，
，（当且仅当
时取等号）．故选A．
5．已知
，则
的取值范围是（ ）．
A 
B 
C 
D 
答案：D．
解：设
，易得
，即
．由于
，所以
，解得 
．
6．函数是
上的单调递增函数，当
时，
，且
，则
的值等于（ ）．
A 1 B
答案：B
解：（用排除法）令
，则得
．
若
，则
，与矛盾；
若
，则
，与“在上单调递增”矛盾；
若
，则
，也与“在上单调递增”矛盾．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）
7．设集合
，
是S的子集，且
满足：
，
，那么满足条件的子集的个数为 ．
答案：371．
解：当
时，
有
种选择方法， 
有6种选择方法，所以
共有
种选择方法；当
时，一旦
取定，
有
种选择方法，有
种选择方法，所以选择的方法有 
种．
综上，满足条件的子集共有371个．
8．已知数列
满足
，则
=___ .
答案：
．
解：由已知得
，且
．
所以
，即{
}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.
9．已知坐标平面上三点
，
是坐标平面上的点，且
，则点的轨迹方程为
．
答案：
.
解：如图，作正三角形
，由于
也是正三角形，所以可证得 
≌
，所以
．
又因为
，所以点
共线．
，所以P点在的外接圆上，又因为
，所以所求的轨迹方程为
．
10． 在三棱锥
中，
，
，
，
，
，
．则三棱锥体积的最大值为
．
答案：
.
解：设
，根据余弦定理有
，
故
，
．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以
.事实上，取
，
且
时，可以验证满足已知条件，此时
，棱锥的体积可以达到最大．
11． 从m个男生，n个女生（
）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 ．
答案:（10，6）.
解：
，由于
，所以
，整理得
．即
是完全平方数，且
，因此
，
，解得 
（不合条件），
.
所以
．
12．
是平面上不共线三点，向量
，
，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量
．若
，
，则
的值是
____
____．
答案:8．
解：如图,
是线段AB的垂直平分线，
，
，
，
．
三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）
13．
是两个不相等的正数，且满足
，求所有可能的整数c,使得
.
解：由得
,所以
,
由此得到
.
又因为
,故
.………………………4分
又因为
, 令 
则
.……………6分
当
时，
关于t单调递增，所以
，
.
因此 
可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分
14．如图，斜三棱柱
的所有棱长均为
，侧面
底面
，且
.
（1） 求异面直线
与
间的距离；
（2） 求侧面
与底面所成二面角的度数．
解：（1）如图，取
中点D，连
.
.
,
∴
.
由
.……………4分
∥ 
∥平面
.
所以异面直线与间的距离等于
.……………6分
（2）如图，
………………………………..……8分
.……………………12分
15．设向量
为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量
，
同步练习册答案
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