1．如果复数(2+ai)i(a∈R)的实部与虚部是互为相反数，则a的值等于

    A．-l    B．1      C  2     D．-2

2009年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

D

C

A

B

B

A

  9．．              10．．             11． ．          12． ； ．

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小题满分12分）

已知函数．学科网

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．学科

网【解】（Ⅰ）∵_学科网

.                                                                  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                                                                             　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　　                　　　　　       ……………………  3分                  

的最小正周期为．                                  …………………  5分

（Ⅱ）∵，  ，    ．                        

的值域为．       　                 　         ………………  10分

当递减时，递增．　　　　　　　　　　　　

，即．        

故的递增区间为．           　      　          ……………………12分

17．（本小题满分12分）

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？

【解】（Ⅰ）证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．

平面，平面平面．                  ………………………4分

 （Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在

平面上的射影，

因此，为直线与平面所成的角．                   ………………………5分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．       ………………………7分

，．

直线与平面所成角的大小为．                       ………………………8分

 (Ⅲ)（解法一）过点作，交的延长线于点，连．

根据（Ⅰ）的证明，平面，则，

为二面角的平面角，．             …………………9分

在中，，,．              …………………  10分

又四边形为矩形， ．

．               

因此，当的长为时，二面角的大小为．            …………………12分

（解法二）设中点为，以为坐标原点，、、方向

分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）

设，则点的坐标为

在中，，,．

点的坐标为，点的坐标为,

，

设平面的法向量为，则,．

即     令，解得

                                               …………………10分

取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为

，即， 解得（负值舍去）

因此，当的长为时，二面角的大小为．           …………………12分

18．（本小题满分14分）

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，

负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满

局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，

且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛

停止的概率为．

若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得

分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，

；如果乙获胜，则输入．

写什么条件？

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量

的分布列和数学期望． 　　　  

注：“”，即为“”或为“”．

【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填．     ………………… 4分

注意：答案不唯一．

（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．

有．   

 解得或．                               …………………………………6分

，     ．                                ………………………… 7分

（Ⅲ）（解法一）依题意知，的所有可能值为2，4，6．            ………………………… 8分

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．

从而有，

　　　　，

　　　　．

随机变量的分布列为：                                    …………………………… 12分

故．                           …………………………… 14分

 （解法二）依题意知，的所有可能值为2，4，6．                      …………………  8分

令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得

，

              ，

              ．                                   …………………  12分

随机变量的分布列为：

故．                                 …………………  14分

19．（本题满分14分）

已知函数（，）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．

【解】（Ⅰ）                                     …………………  2分

，

由，得．

，，．

又．

函数的单调递增区间为,递减区间为．  ………… 6分  

（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）

令，当时，．

则不等式（※）即为．                             …………………9分

令，，

在的表达式中，当时，，

又时，，

在单调递增，在单调递减．

在时，取得最大，最大值为．             …………………12分

因此，对一切正整数，当时，取得最大值．

实数的取值范围是．                           ………………………… 14分

【法二】不等式，即为．………………（※）

设，

，

令，得或．                               ………………………… 10分

当时，，当时，．

当时，取得最大值．

因此，实数的取值范围是．                        ………………………… 14分

20．（本题满分14分）

在四边形中，已知，点在轴上， ，且对角线．

（Ⅰ) 求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点．求证：轴或与轴重合；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

【解】（Ⅰ)如图，设点的坐标为，

则，

，，即．

∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线 ……………… 3分

  （解法一）(Ⅱ)对函数求导得，．

设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，该切线方程是．

又设点的坐标为，

切线过点，有，

化简，得．                              …………………………6分

设、两点的坐标分别为、，则、为方程的两根，

．

因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行     …………9分

(Ⅲ) ．

点的坐标为．                         

     又．

直线的方程为：，即．………（）

当时，方程（）恒成立，

对任意实数，直线恒过定点，定点坐标为．        …………………………14分

（解法二）(Ⅱ)设点的坐标为，利用切点弦直线方程的结论可得出直线的方程为，即                          …………………………7分

由 得.

．

.

因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行.   ……………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线的方程为，即．

后面解法同解法一.

21．（本题满分14分）

已知函数，为函数的导函数．

（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；

（Ⅱ）若数列满足：，（）．

（?）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；

（?）当时， 求证：．

【解】（Ⅰ），                                    …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   数列是首项为，公比为的等比数列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

当时，．

假设，则．

由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．   …………8分

（?）， ．

当时，．

假设，则 ．

由数学归纳法，得出数列．              …………………………10分

又，

，

即．                                   …………………………12分

．

，

．                               　   …………………………14分

                                        审题：石永生    命题：喻秋生   姚亮   黄元华