30、(天津市汉沽一中2008~2008学年度第五次月考)设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．

（I） 求轨迹C的方程；

（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．

解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设

　　　，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲线C的方程为．………………………………………6分

（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y－16）= (s，t－16)．

     故，．……………………………………8分

     ∵M、N在曲线C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由题意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故实数的取值范围是（）．………………………………13分

31、(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。

解：（1）∵点是线段的中点 ∴是△的中位线

又∴               ………2分

∴ ∴椭圆的标准方程为=1…6分

（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2      －在△ABC中，由正弦定理，    ……10分

∴＝                ………12分

32、(四川省成都七中2009届高三零诊模拟考试)已知抛物线y=x²上的两点A、B满足=l,l＞0,其中点P坐标为(0,1),=＋,O为坐标原点.

                       (I)         求四边形OAMB的面积的最小值;

                   (II)         求点M的轨迹方程.

解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx＋1,A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²).

由得x²－kx－1=0,\x₁＋x₂=k,x₁x₂=－1,\?=x₁x₂＋x₁²x₂²=－1＋(－1)²=0,\^.

又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,

\S=||?||=?=－x₁x₂

===.

\当k=0时,S取得最小值是2.                       6分

(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x₁和x₂得x²=y－2,\点M的轨迹是y=x²＋2      6分

33、(四川省成都市2008―2009学年度上学期高三年级期末综合测试)已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上.若右焦点到直线 的距离为3.

（1）求椭圆的方程;

（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.

解（1）依题意可设椭圆方程为  ，则右焦点F（）由题设

   解得   故所求椭圆的方程为

（2）设P为弦MN的中点，由  得

由于直线与椭圆有两个交点，即       ①

   从而

    又，则

    即      ②

把②代入①得  解得       由②得   解得

  .故所求m的取范围是（）

34、(四川省泸县六中高09级二诊模拟数学试题)已知抛物线y=x²上的两点A、B满足=l,l＞0,其中点P坐标为(0,1),=＋,O为坐标原点.

(1)求四边形OAMB的面积的最小值;

(2)求点M的轨迹方程.

解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx＋1,A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²).

由

得x²－kx－1=0,\x₁＋x₂=k,x₁x₂=－1,\?=x₁x₂＋x₁²x₂²=－1＋(－1)²=0,\^.

又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,

\S=||?||=?=－x₁x₂

===.

\当k=0时,S取得最小值是2.                       6分

(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x₁和x₂得x²=y－2,\点M的轨迹是y=x²＋2      12分

35、(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)已知，动点满足.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；

（Ⅲ）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值.

解：（Ⅰ）动点的轨迹的方程为   ；   ………………………………3分

（Ⅱ）解法1  当直线的斜率不存在时，,，不合题意；

当直线的斜率存在时,设过的直线：，代入曲线的方程得

设，则

，        解得

故所求的直线的方程为；…………………………………9分

解法2  当直线为轴时， ， 不合题意；

当直线不为轴时，设过的直线：，代入曲线的方程得

设，则

  =     解得

故所求的直线的方程为；…………………………………9分

（Ⅲ）设由得

处曲线的切线方程为 

令得 ；   令得 .

由  ，  

  得.

故面积的最小值为2.…………………………………………14分

36、(苍山诚信中学?理科)如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，

点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.

    （I）求曲线E的方程；

    （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），

         且满足，求的取值范围.

(解)（1）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为焦距2c=2.   ……………5分

∴曲线E的方程为………………6分

（2）当直线GH斜率存在时，

设直线GH方程为

得

设……………………8分

，

……………………10分

又当直线GH斜率不存在，方程为

……………………………………12分

37、(苍山县?理科)已知定点A（－2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.

   （1）求动点P的轨迹方程；

   （2）是否存在过点E（0，－4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足 （O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.

(解)22解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|＋|PF|=r=8

∴|PA|＋|PF|=8＞|AF|

∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆…………………………3分

设方程为

………………………5分

（2）假设存在满足题意的直线l，其斜率存在，设为k，设

38、(济宁?理科)设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．

(解)（1）由题设知

由于，则有，所以点A的坐标为，

故所在直线方程为， ………………………………3分

所以坐标原点O到直线的距离为，

又，所以，解得，

所求椭圆的方程为．……………………………………………5分

（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，

设，由于，

∴，解得     …………………8分

又Q在椭圆C上，得，

解得， …………………………………………………………………………10分

故直线l的方程为或，

即或．   ……………………………………………12分

39、(临沂一中?理科)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.

   （I）求抛物线方程；

   （II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；

   （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

(解)（I）由题意可设抛物线的方程为,

    ∵过点的切线方程为,

    ……………………………………………………………2分

    ∴抛物线的方程为…………………………………………………3分

   （II）直线PA的方程为,

      同理,可得. …………………………………………………………5分

      …………………………6分

      又

    ∴线段PM的中点在y轴上.………………………………………………………7分

   （III）由

    ………………………………………8分

    ∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,

     即

    …………………………………………………………10分

    又∵点A的纵坐标      ∴当时，；

    当

    ∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为……………12分

40、(临沂高新区?理科)如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．

    （1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；

    （2）若，求实数k的取值范围．

(解)（1）椭圆C：   1分

直线AB：y＝k（x－m）,                                           2分

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  3分

设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝    4分

则x_m＝              5分

若存在k,使为ON的中点，∴．

∴，

即N点坐标为．                             6分

由N点在椭圆上，则       7分

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使                                  8分

（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²

＝（1＋k²）?        10分

由得       12分

即k²－15≤－20k²－12,k2≤且k≠0．                14分

41、(烟台?理科)已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且

    设点P的轨迹方程为c。

   （1）求点P的轨迹方程C；

   （2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q

坐标为求△QMN的面积S的最大值。

(解)（1）设

   （2）t=2时， …………5分

42、(枣庄市?理科)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，―3）、N（5，1），若动点C满足交于A、B两点。

   （I）求证：；

   （II）在x轴上是否存在一点，使得过点P的直线l交抛物线于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由。

(解)（I）解：由

知点C的轨迹是过M，N两点的直线，故点C的轨迹方程是：

   （II）解：假设存在于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。设

    由题意，直线l的斜率不为零，

    所以，可设直线l的方程为

    代入 …………7分

    此时，以DE为直径的圆都过原点。 …………10分

    设弦DE的中点为

43、(聊城一中?理科)已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上．若右焦点到直线 的距离为3．

（3）求椭圆的方程，

（4）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N．当时，求m的取值范围．

(解)（1）依题意可设椭圆方程为  ，则右焦点F（）由题设

   解得   故所求椭圆的方程为

（2）设P为弦MN的中点，由  得

由于直线与椭圆有两个交点，即       ①

   从而

    又，则

    即      ②

把②代入①得  解得       由②得   解得

．

故所求m的取范围是（）．

44、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

45、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x＝,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。

（1）       求椭圆方程；

（2）       求椭圆的离心率；

（3）       若，求直线PQ的方程。

解：（1）由已知得，解得：……………………2分

所求椭圆方程为………………………………………………4分

（2）因，得……………………………………7分

（3）因点即A（3，0），设直线PQ方程为………………8分

则由方程组，消去y得：

设点则……………………10分

因，得，

又，代入上式得

，故

解得：，所求直线PQ方程为……………………14分

46、(重庆奉节长龙中学2009年高考数学预测卷二)P是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．

（1）试求双曲线的离心率；

（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当，= 0，求双曲线的方程．

解（1）∵，，∴，． 

    ∵=0，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，∴．……………………4分

  （2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分

    设P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)．

    ∵，∴． ∵，∴………8分

    ∵点P在双曲线上，∴．

    化简得，．∴．∴ ．∴双曲线的方程为…12分

评析：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，基于此特命此题．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．

47、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．

(1) 求点P的轨迹E；　

(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………②

由①、②消去λ得 ，即 ．

故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x² + y² = 4；

当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：

当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．

(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)² + y² = (4- k)² ;

椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．

由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

设M(x₁, y₁), N(x₂, y₂),  则有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

48、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F₁、F₂，直线过F₂且与直线F₁F₂的夹角为，且，与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

解  以F₁F₂的中点为原点，F₁、F₂所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F₂（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，

∴，，∴双曲线方程为.

49、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.

   （1）求曲线C的方程；

   （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；

   （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明

（1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为（0，），

   ，于是点N的坐标为，N₁的坐标

   为，所以

   由

   由此得

   由

   即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分

   （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

   无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为

   由方程组

   依题意

   当时，设交点PQ的中点为，

   则

   又

   而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

   （3）由题意有，则有方程组

     由（1）得  （5）

   将（2），（5）代入（3）有

   整理并将（4）代入得，

   易知

   因为B（1，0），S，故，所以

50、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。

（1）       求双曲线C的标准方程；

（2）       若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得

∵且的面积为1

∴,

∴

∴

∴双曲线C的标准方程为。

（2）设，联立得

显然否则直线与双曲线C只有一个交点。

即

则

又

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)

∴即

∴

∴

化简整理得

∴ ，且均满足

当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当时，直线的方程为，直线过定点（，0）

∴直线定点，定点坐标为（，0）。

51、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

解：设双曲线的方程为

在双曲线上

 得

所以双曲线方程为

52、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积