(2)若AC1⊥平面A1BD,二面角B―A1C1―D的余弦值. 解:(1)连结AB1交于A1B于点E,连结ED. ∵侧面ABB1A1是正方形 ∴E是AB1的中点 又∵D是AC的中点 ∴ED∥B1C ∴B1C∥平面A1BD………………4分 (2)取A1C1的中点G,连结DG,则DG⊥A1C1 ∵AB=BC ∴BD⊥AC ∴BD⊥平面A1C1D ∴BG⊥A1C1 ∴∠BGD为二面角B―A1C1―D的平面角………………8分 ∵AC1⊥平面A1BD,∴AC1⊥BD,又∵CC1⊥平面ABCD,且AC1在平面ABC的射影为AC,∴AC⊥BD
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∵AB=BC且D为AC中点,∴AB⊥BC 且BD=AB 又∵DG=A1A=AB
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∴BG=AB ∴……………………12分
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5、
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角P―AB―C的大小;
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(Ⅲ)设点M在棱PC上,且,问为何值时,PC⊥平面BMD.
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解:
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以O为原点,OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,).
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(1),
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故直线PD与BC所成的角的余弦值为
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(2)设平面PAB的一个法向量为,
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由于
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由
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取的一个法向量
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又二面角P―AB―C不锐角. ∴所求二面角P―AB―C的大小为45°
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(3)设三点共线,
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(1)
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(2)
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由(1)(2)知
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故
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6、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,M为BC的中点 (Ⅰ)证明:AM⊥PM ; (Ⅱ)求二面角P-AM-D的大小;
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(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离 解法1:(Ⅰ) 取CD的中点E,连结PE、EM、EA.
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∵△PCD为正三角形,∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面PCD⊥平面ABCD, ∴PE⊥平面ABCD
(2分) ∵四边形ABCD是矩形
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∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
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由勾股定理可求得:EM=,AM=,AE=3
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∴
(4分)
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,又在平面ABCD上射影: ∴∠AME=90°, ∴AM⊥PM
(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM,PM⊥AM ∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角
(8分)
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∴tan ∠PME= ∴∠PME=45° ∴二面角P-AM-D为45°;
(10分)
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(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为,连结DM,则
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, ∴
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而
(12分)
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即点D到平面PAM的距离为
(14分)
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解法2:(Ⅰ) 以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 依题意,可得
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∴
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(4分)
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∴
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即,∴AM⊥PM
(6分)
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(Ⅱ)设,且平面PAM,则
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即
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∴ ,
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取,得
(8分)
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取,显然平面ABCD, ∴ 结合图形可知,二面角P-AM-D为45°; (10分)
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(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为,由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直,则
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(Ⅰ)求证:;
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(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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,
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所以. ………………………… 4分
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(Ⅰ)证: …… 5分
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…… 6分
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,即.……………………… 7分
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由,得
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又平面BDA的法向量为
…………………………………… 11分
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,
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∴二面角的余弦值为.
…………………………… 14分
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解法二:
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故四点共面, ………………………… 2分
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∵平面,
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.
………………………… 3分
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又
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………………………… 4分
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由,
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平面
………………………… 6分
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;
……………………… 7分
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平面
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是二面角的平面角. ……………………… 9分
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.
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.
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,
…………………… 12分
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又
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在中,
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即二面角的余弦值为.
…………………… 14分
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(Ⅰ)求DH与所成角的大小;
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(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小.
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设,由已知,
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由
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可得.解得,
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所以.(Ⅰ)因为,
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(Ⅱ)平面的一个法向量是.
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因为, 所以.
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可得DH与平面所成的角为.
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9、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)在正三棱锥中,
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D是AC的中点,.
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(1)求证:(5分)
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(2)(理科)求二面角的大小。(7分)
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(文科)求二面角 平面角的大小。(7分)
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10、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)如图,P―ABCD是正四棱锥是正方体,其中.
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(3)求到平面PAD的距离. 解法一: (1) 连结AC , 交BD于点O , 连结PO ,
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则PO⊥面ABCD , 又∵AC⊥BD , ∴,
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∵BD∥B1D1 , ∴ . ------4分 (2) ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面PBD , 过点O作OM⊥PD于点M,连结AM , 则AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, ------6分
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, ∴ ,
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即二面角的大小为 . ------8分 (3) 分别取AD , BC中点E , F ,作平面PEF , 交底面与两点S , S1 , 交B1C1于点B2 , 过点B2作B2B3⊥PS于点B3 , 则 B2B3⊥面PAD , 又 B1C1∥AD , ∴B2B3的长就是点B1到平面PAD 的距离 .
------10分
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∴ .
------12分
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(1)设E是BD的中点,P―ABCD是正四棱锥,
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即
------4分
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(2)设平面PAD的法向量是,
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又平面的法向量是
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------8分
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(Ⅰ)证明:EF∥平面PCD; (Ⅱ)求二面角B-CE-F的大小.
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易证:且∥ 于是,EF∥MD,而MDÌ平面PCD 所以EF∥平面PCD
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(Ⅱ)以点为原点,建系,
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12、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,,直线B1C与平面ABC成30°角。
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(2)(文科)求二面角B―B1C―A的正切值;
(3)(理科)求直线A1C与平面B1AC所成的角的正弦值。
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解:(1)三棱柱ABC―A1B1C1为直三棱柱
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底面ABC
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又AC面ABC
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AC
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又
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又AC面B1AC
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…………(6分)
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(2)三棱柱ABC―A1B1C1为直三棱柱
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底面ABC
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为直线B1C与平面ABC所成的角,即
过点A作AM⊥BC于M,过M作MN⊥B1C于N,加结AN。 ∴平面BB1CC1⊥平面ABC ∴AM⊥平面BB1C1C 由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B―B1C―A的平面角。
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设AB=BB1=
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在Rt△B1BC中,BC=BB1
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在Rt△BAC中,由勾股定理知
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在Rt△AMC中,
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在Rt△MNC中,
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在Rt△AMN中,
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即二面角B―B1C―A的正切值为
…………(文12分)
(3)(理科)过点A1作A1H⊥平面B1AC于H,连结HC,则 ∠A1CH为直线A1C与平面B1AC所成的角
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由知
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在Rt………………(理12分)
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(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
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(3)求二面角的大小.
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(2)AD∥BC∠PCB(或其补角)为异面直线PC与AD所成角
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……………………………………8分
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(3)作
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…………………………………………12分
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(2)若,求边的长。 解:(I)由已知,OC⊥OB,OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC. 过点A′作A′D⊥AB,垂足为D,则A′D⊥平面ABC,……………………(2分) ∴∠A′ED=30°,又A′O=BO=1,∴∠A′OD=60°,
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从而A′D=A′Osin60°=.……………………………………………………(4分) 过点D作DE⊥BC,垂足为E,连结A′E,据三垂线定理,A′E⊥BC. ∴∠A′ED为二面角A′―BC―A的平面角.……………………………………(5分)
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由已知,A′E=1,在Rt△A′DE中 ∴∠A′ED=60°故二面角A′―BC―A的大小为60°.…………………………(6分)
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(II)设BC=,∠A′CB=θ,则A′C=,∠OCB=π-θ.
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在Rt△BOC中,…………(8分)
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在△A′BC中,A′B2=A′C2+BC2-2A′C?BC
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………………………(12分)
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(1) 求证:;
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(2) 求二面角的正切值.
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(1)证明:∵,…………2分
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∴,而
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∴…………5分
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又由(1)知,
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∴,
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∴为二面角的平面角………9分
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又
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即二面角的正切值为.…………12分
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为的中点.
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(1)求证: //平面;
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(2)求证:⊥平面;
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连结MD,则D为AC的中点 ∴B1C∥MD
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又B1C平面A1BD ∴B1C∥平面A1BD …………4分 (2)∵AB=B1B ∴四边形ABB1A1为正方形 ∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥面A1BD ∴AC1⊥A1B∴A1B⊥面AB1C1 …………6分 ∴A1B⊥B1C1 又在直棱柱ABC―A1B1C1中BB1⊥B1C1 ∴B1C1⊥平面ABB1A1
…………8分 (3)当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE …………9分 ∵D、E分别为AC、C1C的中点 ∴DE∥AC1
∵AC1⊥平面A1BD ∴DE⊥平面A1BD
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又DE平面BDE ∴平面A1BD⊥平面BDE …………12分
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18、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)如图,已知:在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是AB与PD的中点. (1)求证:PC⊥BD; (2)求证:AF//平面PEC; (3)求二面角P―EC―D的大小. 证明:(1)连结AC,则AC⊥BD。 ∵PA⊥平面ABCD,AC是斜线PC在平面ABCD上的射影, ∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分 (2)取PC的中点K,连结FK、EK,则四边形AEKF是平行四边形。
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∴AF//EK,又EK平面PEC,AF平面PEC,∴AF//平面PEC。…………4分 (3)延长DA、CE交于M,过A作AH⊥CM于H, 连结PH,由于PA⊥平面ABCD,可得PH⊥CM。 ∴∠PHA为所求二面角P―EC―D的平面角。………………10分 ∵E为AB的中点,AE//CD,∴AM=AD=2, 在△AME中,∠MAE=120°,
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由余弦定理得
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………………14分
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(Ⅰ)求证:AP//平面EFG;
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(Ⅱ) 求二面角的大小;
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(Ⅲ)求三棱椎的体积.
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解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
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四边形EFOG是平行四边形,
平面EFOG. ……3分
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又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分
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平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分
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PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分 方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
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平面EFG//平面PAB,
……4分
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又PA平面PAB,平面EFG. ……6分
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方法三)如图以D为原点,以
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为方向向量建立空间直角坐标系. 则有关点及向量的坐标为:
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……2分
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设平面EFG的法向量为
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取.……4分
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∵,……5分
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又平面EFG.
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AP//平面EFG. ……6分 (Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形
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又
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又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分
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……10分
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结合图知二面角的平面角为……11分
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(Ⅲ) ……14分
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20、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)如图①,在等腰梯形CDEF中,已知CD∥EF,CD=2,EF=6,AD、BC均为梯形的高,且AD=BC=.现沿AD、BC将△ADE和△BCF折起,使点E、F重合为一点P,如图②所示.又点N为线段AB的中点,点M在线段AD上,且MN⊥PC. (1)求线段AM的长; (2)求二面角P-MC-N的大小.
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解:(1)由题意,AD⊥平面PAB,取CD的中点E,连接NE
∵四边形ABCD是矩形,点N是AB的中点
∴AD∥EN,EN⊥平面PAB
由题意得PA=AB=BP=2
∴PN⊥AB ……2'
如图所示,建立空间直角坐标系N-xyz
则A(0,-1,0),P(,0,0),C(0,1,)
设M(0,-1,z),则=(0,1,-z),
=(-,1,)
……4'
由?=1-z=0 Þ z=
∴AM=
……6'
(2)设平面PMC的法向量=(x0,y0,z0),=(0,2,)
由?=0且?=0
得 Þ 取 Þ =(,-1,2) ……9'
∵平面MCN的法向量=(1,0,0)
∴cos<,>== Þ <,>= ……11'
∵二面角P-MC-N为锐角,
∴二面角P-MC-N的大小为. ……12'
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21、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)如图,已知:在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是AB与PD的中点.
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(1)求证:PC⊥BD; (2)求证:AF//平面PEC; (3)求二面角P―EC―D的大小. 证明:(I)连结AC,则AC⊥BD。 ∵PA⊥平面ABCD,AC是斜线PC在平面ABCD上的射影, ∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分
(II)取PC的中点K,连结FK、EK, 则四边形AEKF是平行四边形。
试题详情
∴AF//EK,又EK平面PEC,AF平面PEC, ∴AF//平面PEC。………………4分
(III)延长DA、CE交于M,过A作AH⊥CM于H, 连结PH,由于PA⊥平面ABCD,可得PH⊥CM。 ∴∠PHA为所求二面角P―EC―D的平面角。………………10分 ∵E为AB的中点,AE//CD, ∴AM=AD=2, 在△AME中,∠MAE=120°,
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由余弦定理得
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………………14分
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22、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图,已知长方体
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(1)求异面直线与所成的角;
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(2)求平面与平面所成的二面角;
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(3)求点到平面的距离.
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易知异面直线所成的角为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
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23、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)如图直棱柱ABC-A1B1C1中AB=,AC=3,BC=,D是A1C的中点E是侧棱BB1上的一动点。 (1)当E是BB1的中点时证明:DE//平面A1B1C1;
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(2)求的值
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(3)在棱 BB1上是否存在点E,使二面角E-A1C-C是直二面角?若存在求的值,不存在则说明理由。
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证明:①取AC中点M连BM,DM
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又
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即四边形DMBE为平行四边形…………………3分
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面ABC
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②在中,….2分
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③过B作,
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设面的法向量
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………3分
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面的法向量………………….1分
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24、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点. (1)求证:EF∥平面CB1D1; (2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1. (1)证明:连结BD.
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在长方体中,对角线.
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又 E、F为棱AD、AB的中点,
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.
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.
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EF∥平面CB1D1. 6′
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(2) 在长方体中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,
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AA1⊥B1D1.
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又在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
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B1D1⊥平面CAA1C1.
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又 B1D1平面CB1D1,
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平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
13′
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25、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图,在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
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(Ⅰ)求证:平面BCD; (Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (Ⅲ)求点E到平面ACD的距离. 解:方法一:⑴.证明:连结OC
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………… 1分
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在中,由已知可得 … 3分
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而, ………………… 4分
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即 ………………… 5分
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∴平面. …………………………… 6分 ⑵.解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为
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BC的中点知, ∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角,…………… 8分
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在中,
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∴, ……………………… 10分
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∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. ………………………… 11分
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在中,,
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∴, ∴点E到平面ACD的距离为 …14分 方法二:⑴.同方法一.
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⑵.解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
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, …………… 9分
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∴
异面直线AB与CD所成角的余弦值为.…… 10分
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⑶.解:设平面ACD的法向量为则
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,
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又 ∴点E到平面ACD的距离 .…14分
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26、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)已知正方体ABCD―中,E为棱CC上的动点,
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(1)求证:⊥;
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解析:连结AC,设,连结
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(1),
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∴,
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又,
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∴,
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.
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∴⊥.-----------------------------------------------7分
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在正方体ABCD―中,设棱长为,
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∵E为棱CC的中点,由平面几何知识,得,
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27、(广东省恩城中学2009届高三上学期模拟考试)如图, 在矩形中, ,
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(2) 求证:平面⊥平面;
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(3) 若, 求三棱锥的 体积. 证明: ⑴ 在矩形ABCD中, ∵AP=PB, DQ=QC,
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∴APCQ. ∴AQCP为平行四边形.-------------2分 ∴CP∥AQ.
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∵CP平面CEP,
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AQ平面CEP, ∴AQ∥平面CEP. ----------------4分 ⑵ ∵EP⊥平面ABCD,
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AQ平面ABCD, ∴AQ⊥EP. ----------------------6分 ∵AB=2BC, P为AB中点, ∴AP=AD. 连PQ, ADQP为正方形. ∴AQ⊥DP.-----------------------------------------8分 又EP∩DP=P, ∴AQ⊥平面DEP.
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∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. ----------------------10分
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⑶解:∵⊥平面
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∴EP为三棱锥的高
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所以
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----------------------------------------------14分
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(1) 求证:平面;
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(2) 求证:平面平面;
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(3) 求直线和平面所成角的正弦值.
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∴,∴.
…………2分
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又,∴. …………3分
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∴四边形为平行四边形,则. …………4分
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∴平面.
…………5分
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∵平面,
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∴平面平面. …………10分
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设,则,
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,
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R t△中,.
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方法二:设,建立如图所示的坐标系,则
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.……2分
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(1) 证:, …………4分
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(2) 证:∵, …………6分
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∴,∴. …………8分
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∴平面平面. …………10分
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,取.
…………12分
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.
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(1)求证:⊥;
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(2)求二面角的平面角的余弦值.
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解:(1)∵点A、D分别是、的中点,
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∴.
…… 2分
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∴∠=90º.
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∴.
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∴ ,
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∵,
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∴⊥平面.
…… 4分
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∵平面,
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∴.
…… 6分
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∵,
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∴.
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∵,
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∴平面.
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∵平面,
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∴.
…… 8分
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∵
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∴平面.
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∵平面,
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∴.
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∴∠是二面角的平面角.
……10分
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在Rt△中, ,
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在Rt△中, ,
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.
……12分
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∴ 二面角的平面角的余弦值是.
……14分
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法2:建立如图所示的空间直角坐标系.
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∴=(-1,1,0),=(1,0,1), ……8分
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设平面的法向量为=(x,y,z),则:
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,
……10分
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令,得,
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∴=(1,1,-1).
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∴二面角的平面角的余弦值是.
……14分
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(1)求证:
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二面角的大小为,求的值. 解:(1)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,……………….2分 则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
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得AD⊥平面
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A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC……………………………………………...4分 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
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又AB侧面A1ABB1, 故AB⊥BC. ……………………………………………….6分
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(2)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1-BC-A的平面角,即∠ACD=θ,∠ABA1=………………..8分
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于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D=,………………10分 ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D.
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31、(河南省实验中学2008-2009学年高三第一次月考)如图,四棱锥P―ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角; (3)求直线AB与平面PCD的距离. (1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB 又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB…(2分)
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又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC………………… (4分) (2)解:取AB中点E,连结PE、CE 又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB 又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角………………………………………(6分)
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在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求…………………………………………(8分) (3)解:在矩形ABCD中,AB//CD
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∵CD侧面PCD,AB侧面PCD,∴AB//侧面PCD 取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD,∴CD⊥平面PEF,∴平面PCD⊥平面PEF…………………(10分) 作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD
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在Rt△PEF中,EG=为所求……………………………… (12分)
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(Ⅰ)求证:PQ⊥BD; (Ⅱ)求二面角P-BD-Q的余弦值; (Ⅲ)求点P到平面QBD的距离. 解:(Ⅰ)由P-ABD,Q-CBD是相同正三棱锥,可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形 …1分 取BD中点E,连结PE、QE,则BD⊥PE,BD⊥QE.故BD⊥平面PQE,从而BD⊥PQ.
………4分 (Ⅱ)由(1)知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角
……………………5分
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作PM⊥平面,垂足为M,作QN⊥平面,垂足为N,则PM∥QN,M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心,从而点A、M、E、N、C共线,PM与QN确定平面PACQ,且PMNQ为矩形. …………6分
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∴.
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∴ . ∴ .
…………………………14分
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33、(广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面,、分别为
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(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
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(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角的余弦值。
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解(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,MN底面ABCD ∴MN⊥PA 又MN⊥AD 且PA∩AD=A ∴MN⊥平面PAD ………………3分
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MN平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD …………4分 (Ⅱ)∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA=A ∴BC⊥平面PBA ∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
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即…………7分
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在Rt△PBC中,PC=BC/sin∠BPC=
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∴ ………………10分 (Ⅲ)由(Ⅰ)MN⊥平面PAD知 PM⊥MN MQ⊥MN ∴∠PMQ即为二面角P―MN―Q的平面角 …………12分
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而
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∴ …………14分
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34、如图所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE (1)求证:AE⊥平面BCE; (2)求证:AE∥平面BFD; (3)求三棱锥C-BGF的体积。
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且,
---------9分
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中,,
---------10分
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---------11分
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---------12分
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(Ⅰ) 求证:平面;
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(Ⅱ) 求二面角的余弦值. 解:(Ⅰ)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC.
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建立空间直角坐标系如图,则, .
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由M为PB中点,∴.
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∴,
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. ∴PA⊥DM,PA⊥DC. ∴PA⊥平面DMC.
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(Ⅱ)).令平面BMC的法向量,
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由①、②,取x=−1,则. ∴可取.
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由(II)知平面CDM的法向量可取,
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∴. ∴所求二面角的余弦值为-.
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(1)求的长度; (2)求点C到截面的距离.
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37、(四川省万源市第三中学高2009级测试)如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900,
∠BDC=600,BC=6,AB=AC. (Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A―CD―B的平面角的正切值;
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(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为,求点B到平面的距离。 (Ⅰ)证明 ∵平面ACB⊥平面BCD,∠CBD=900, ∴DB⊥平面ACB,
∴DB⊥CA.又∠CAB=900,∴CA⊥平面ADB ∴平面ACB⊥平面BCD. ――――――――――4分 (Ⅱ)解 设BC的中点为E,作EF⊥CD,垂足为F,连结AF。
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∵AC=AB,∴AE⊥BC,∵平面ACB⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD, ∴FE是AF在平面BCD内的射影, ∴AF⊥CD, 即∠AFE就是二面角A―CD―B的平面角。
―――――――6分 在等腰直角△ABC中,斜边BC=6, ∴AE=3,且CE=3,
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在Rt△CEF中,∠ECF=300,
∴EF=,
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∴tan∠AFE=,即二面角A―CD―B的平面角的正切值是2. ―――――――8分 (Ⅲ)解 如图,设DC的中点为G,分别以直线EG.EB.EA为x.y.z轴,建立空间直角坐标系E―xyz.
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∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(,3,0)
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设过AD和BC平行的平面的一个法向量是n=(a,b,c),则有
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且,即
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∴点B到的距离d=。 ―――――――12分
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38、(天津市汉沽一中2008~2008学年度第五次月考)如图,三棱锥P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB.
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(I) 求证:AB平面PCB; (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小; (III)求二面角C-PA-B的大小.
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解法一:(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,
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∴PCAB.…………………………2分
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∴CDAB.…………………………4分
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又,
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∴AB平面PCB. …………………………5分 (II) 过点A作AF//BC,且AF=BC,连结PF,CF.
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则为异面直线PA与BC所成的角.………6分 由(Ⅰ)可得AB⊥BC,
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∴CFAF.
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由三垂线定理,得PFAF.
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则AF=CF=,PF=,
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∴异面直线PA与BC所成的角为.…………………………………9分 (III)取AP的中点E,连结CE、DE.
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∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=.
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∵CD平面PAB,
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由三垂线定理的逆定理,得 DE PA.
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∴为二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分
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由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=.
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在中,PB=,
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.
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∴二面角C-PA-B的大小为arcsin.……14分 解法二:(I)同解法一.
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(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,
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又∵AB=BC,可求得BC=. 以B为原点,如图建立坐标系.
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则A(0,,0),B(0,0,0),
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C(,0,0),P(,0,2).
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,. …………………7分
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则+0+0=2.
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∴异面直线AP与BC所成的角为.………………………10分 (III)设平面PAB的法向量为m= (x,y,z).
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,,
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设平面PAC的法向量为n=().
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,,
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则 即
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解得 令=1, 得 n= (1,1,0).……………………………12分
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=.
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∴二面角C-PA-B的大小为arccos.………………………………14分
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(Ⅰ)求平面与平面所成锐二面角的大小;
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,∴即为所求.……12分(用空间向量相应给分)
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40、(四川省成都七中2009届高三零诊模拟考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。 (1)求证:EF∥平面SAD; (2)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小. 解一:(1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点.
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连结AG,,又,故,AEFG为平行四边形. EF∥AG,又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD. 6分 (2)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,DADG为等腰直角三角形. 取AG中点H,连结DH,则DH^AG. 又AB^平面SAD,所以AB^DH,而AB∩AG=A,所以DH^面AEF. 取EF中点M,连结MH,则HM^EF. 连结DM,则DM^EF.
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所以二面角A-EF-D的大小为.
6分 解二:(1)如图,建立空间直角坐标系D-xyz.
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设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(0,,),=(-a,0,).
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=,所以EF∥AG,又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD. 6分
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(2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C0,1,0),S(0,0,2),E(1,,0),F(0,,1).
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所以二面角A-EF-D的大小为arccos.
6分
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三、解答题(第二部分)
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(Ⅰ)求证:平面;
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(Ⅱ)求二面角的大小;
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(Ⅲ)求点到平面的距离.
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在中,由等面积法可求得,
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又,.
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所以二面角的大小为.
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为正三角形,.
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,,
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,.
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平面.
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(Ⅱ)设平面的法向量为.
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,.
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,,
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42、(枣庄市?理科)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F
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是CD的中点。 (I)求证:AF//平面BCE; (II)求证:平面BCE⊥平面CDE; (III)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。 (解)(I)解:取CE中点P,连结FP、BP, ∵F为CD的中点,
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∴FP//DE,且FP=
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又AB//DE,且AB=
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∴AB//FP,且AB=FP, ∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP。…………2分
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又∵AF平面BCE,BP平面BCE, ∴AF//平面BCE。 …………4分 (II)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD。 ∵AB⊥平面ACD,DE//AB,
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∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD, ∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面CDE。 …………6分
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又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE。 …………8分 (III)由(II),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),建立空间直角坐标系F―xyz.设AC=2,
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则C(0,―1,0),………………9分
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……10分
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显然,为平面ACD的法向量。
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设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
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,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。…………12分
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43、(烟台?理科)四棱锥P―ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA中点,过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F,G,H,已知底面ABCD为直角梯形,AD//BC,AB⊥AD,∠BCD=135° (1)求异面直线AF,BG所成的角的大小; (2)设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ,求cosθ. (解)由题意可知,AP、AD、AB两两垂直, 可建立空间直角坐标系A―xyz,由平面几 何知识知:AD=4,D(0,4,0),B(2,0,0),
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C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(1,0,1),G(1,1,1)…………2分
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(1)
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…………4分
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(2)可证明AD⊥平面APB,∴平面APB的法向量为
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设平面CPD的法向量为
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…………10分
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…………12分
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44、(临沂一中?理科)如图,在四棱锥P―ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠, AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别是PC,CD的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面BEF;
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(Ⅱ)设, 求k的值. (解)
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(Ⅰ)证明:
.………………………2分 PA⊥平面ABCD,AD⊥CD. ……………………………………………3分
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. ………………………………………5分 ∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)连结AC且交BF于H,可知H是AC中点,连结EH, 由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD.
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得EH⊥平面ABCD,且EH.…………………………………………8分 作HM⊥BD于M,连结EM,由三垂线定理可得EM⊥BD. 故∠EMH为二面角E―BD―F的平面角,故∠EMH=600.……………………10分 ∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
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故.
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得, 得
.
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在Rt△EHM中,
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得
………………………………………………………12分 解法2:(Ⅰ)证明,以A为原点,
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建立如图空间直角坐标系.
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设PA = k,则,
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,.………………………………………………………2分
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得.…………………………4分
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有………………6分
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(Ⅱ)…7分 .
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设平面BDE的一个法向量,
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得 …………………12分
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45、(临沂高新区?理科)如图,在五面体,ABCDF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面ABF是等边三角形,棱EF=. (1)证明EO∥平面ABF;
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(2)问为何值是,有OF⊥ABE,试证明你的结论. (解)(1)证明:取AB中点M,连结OM. 2分
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在矩形ABCD中,OM=,
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又EF=,则EF=OM, 连结FM,于是四边形EFMO为平行四边形.∴OE∥FM. 4分
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又∵EO平面ABF,FM平面ABF,∴EO∥平面ABF. 6分 (2)解:∵OF⊥平面ABE,连结EM.
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∵EM平面ABE.∴OF⊥EM,又四边形OEFM为平行四边形. ∴□OEFM为菱形. 8分 ∴OM=MF,设OM=a,则BC=2a.
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在正△ABF中,MF=a,∴a=,∴. 10分
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∴CD=,∴
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综上可知,当时,有OF⊥平面ABE. 12分
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(1)当;
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(解)(1)当时.…………2分
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∵△为正三角形,
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∴⊥…………6分
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∴∠为二面角P―AC―B的平面角,,
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…………8分
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…………10分
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……12分
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47、(郓城实验中学?理科)如图,直二面角D―AB―E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F
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(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE; (Ⅱ)求二面角B―AC―E的余弦值; (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.
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(解)19.解法一:(Ⅰ)平面ACE.
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∵二面角D―AB―E为直二面角,且, 平面ABE.
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∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,
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平面ACE,
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(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1. ∵二面角D―AB―E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.
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设D到平面ACE的距离为h,
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解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直 线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行 于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系 O―xyz,如图.
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在的中点,
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设平面AEC的一个法向量为,
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则解得
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令得是平面AEC的一个法向量.
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又平面BAC的一个法向量为,
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∴二面角B―AC―E的大小为
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(III)∵AD//z轴,AD=2,∴,
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∴点D到平面ACE的距离
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48、(苍山诚信中学?理科)如图,四棱锥P―ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正 三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点。
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(II)求点D到面PAB的距离. (解)(1)解法一:连结AC,BD交于点O,连结EO. ∵四边形ABCD为正方形,∴AO=CO,又∵PE=EC,∴PA∥EO, ∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分 ∵面PCD⊥面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥面PCD,∴AD⊥PD.
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在Rt△PAD中,PD=AD=a,则,
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∴异面直线PA与DE的夹角为……………………6分 (2)取DC的中点M,AB的中点N,连PM、MN、PN.
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∴D到面PAB的距离等于点M到 面PAB的距离.……7分 过M作MH⊥PN于H, ∵面PDC⊥面ABCD,PM⊥DC, ∴PM⊥面ABCD,∴PM⊥AB, 又∵AB⊥MN,PM∩MN=M, ∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN, ∴MH⊥面PAB, 则MH就是点D到面PAB的距离.……10分
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在
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解法二:如图取DC的中点O,连PO, ∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC. 又∵面PDC⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD.
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如图建立空间直角坐标系
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则
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.………………………………3分
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(1)E为PC中点, ,
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,
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∴异面直线PA与DE所成的角为……………………6分
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(2)可求,
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设面PAB的一个法向量为,
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① .
②
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由②得y=0,代入①得
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令…………………………9分
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则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值
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即点D到面PAB的距离等于………………………………12分
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(Ⅰ)试判断四边形的形状;
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∴,
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在正方体中,有
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∴四边形是平行四边形,
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∴.
试题详情
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∴,
试题详情
∴四边形为平行四边形,
试题详情
∴.
试题详情
故.
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∴四边形是平行四边形.
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又≌,
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∴,
试题详情
故四边形为菱形.
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∴.
试题详情
在正方体中,有
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,
试题详情
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∴平面.
试题详情
又平面,
试题详情
∴.
试题详情
又,
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∴平面.
试题详情
又平面,
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故平面平面
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50、(广东省汕头市潮南区08-09学年度第一学期期末高三级质检)如图,直角梯形ABCE中,,D是CE的中点,点M和点N在ADE绕AD向上翻折的过程中,分别以的速度,同时从点A和点B沿AE和BD各自匀速行进,t 为行进时间,0。 (1) 求直线AE与平面CDE所成的角; (2) 求证:MN//平面CDE。
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解:(1)因,所以AD⊥平面CDE,ED是AE在平面CDE上的射影,∠AED=450,所以直线AE与平面CDE所成的角为450………………………………4分(2)解法一:如图,取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系A―xyz.
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则 ………5分
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设,
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得…………9分
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所以,故MN//平面CDE……………………………………………………………14分 解法三:如图,过M作MQ//AD交ED于点Q, 过N作NP//AD交CD于点P, 连接MN和PQ…………………………………5分
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设ㄓADE向上翻折的时间为t,则,………………7分
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因,点D是CE的中点,得,四边形ABCD为正方形,ㄓADE为等腰三角形. ……………………10分 在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中,ME=ND,∠MEQ=∠NDP=450,所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP,
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所以MQ//NP且MQ=NP,的四边形MNPQ为平行四边形,所以MN//PQ,因平面CDE,
试题详情
平面CDE,所以MN//平面CDE……………………………………………………14分
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(1)求证:;(2)求二面角的大小;
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(3)求证:平面平面PAB.
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在梯形ABCD中,可得
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,即
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在平面ABCD内的射影为AO, ……4分
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(II)解:,且平面平面ABCD
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为二面角P―DC―B的平面角 ……6分
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(III)证明:取PB的中点N,连结CN, ①
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由①、②知平面PAB…………..10分
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连结DM、MN,则由MN//AB//CD,,
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得四边形MNCD为平行四边形,,平面PAB.
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方法二:取BC的中点O,因为是等边三角形,
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由侧面底面ABCD 得底面ABCD ……1分 以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分
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(I)证明:,则在直角梯形中,
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在等边三角形PBC中,……3分
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(II)解:取PC中点N,则
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所夹角等于所求二面角的平面角 ……6分
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(III)证明:取PA的中点M,连结DM,则M的坐标为
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又 ……10分
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,
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即
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平面PAB,平面平面PAB ……12分 评析:本题考察的空间中的线线关系、面面关系以及二面角的求法关系是立体几何中的最主要关系,熟悉它们的判定和性质是高考复习的重点,本题重在考查学生的运算能力、空间想象能力.
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52、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)四棱锥P―ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° (1)正方形ABCD是四棱锥P―ABCD的底面, 其面积
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为从而只要算出四棱锥的高就行了.
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面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角, ∠PAB=60°.
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而PB是四棱锥P―ABCD的高,PB=AB?tg60°=a,
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. (2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE,
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是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,
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在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
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53、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,C点到AB1的距离为CE=,D为AB的中点. (1)求证:AB1⊥平面CED; (2)求异面直线AB1与CD之间的距离; (3)求二面角B1―AC―B的平面角. (1)∵D是AB中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1,
∴AB1⊥平面CDE; (2)由CD⊥平面A1B1BA
∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
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∵CE=,AC=1 , ∴CD=
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∴; (3)连结B1C,易证B1C⊥AC,又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.
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在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1, ∴∠B1AC=600
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∴, ∴,
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∴ , ∴.
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54、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图a―l―是120°的二面角,A,B两点在棱上,AB=2,D在内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在内,ABC是等腰直角三角形∠ACB= (I) 求三棱锥D―ABC的体积; (2)求二面角D―AC―B的大小;
(3)求异面直线AB、CD所成的角.
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(1) 过D向平面做垂线,垂足为O,连强OA并延长至E.
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异面直线AB,CD所成的角为arctg
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55、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的,并且这三个四边形也全等,如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器,如图②.则当容器的高为多少时,可使这个容器的容积最大,并求出容积的最大值.
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图① 图②
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设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为,
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.
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当且仅当 .
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故当容器的高为时,容器的容积最大,其最大容积为
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56、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知三棱锥P―ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,
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D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E. (1)求证:AP⊥平面BDE;
(2)求证:平面BDE⊥平面BDF; (3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥 P―ABC所成两部分的体积比.
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(1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.
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由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC. 又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.
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(2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF//AP. 由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.
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又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF. (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2.则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
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故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
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57、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
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(1)求证:FD∥平面ABC; (2)求证:AF⊥BD; (3) 求二面角B―FC―G的正切值. 证:(1)∵F、G分别为EB、AB的中点,
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∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC,
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∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC面ABC, ∴FD∥面ABC. (2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB ① 又FG∥EA,EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD ②
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由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD. (3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
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易求.
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58、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ∥平面CDD1C1; (2) 求证PQ⊥AD; (3) 求线段PQ的长. (1)在平面AD1内,作PP1∥AD与DD1交于点P1,在平面AC内,作 QQ1∥BC交CD于点Q1,连结P1Q1.
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∵ ,
∴PP1QQ1 .? 由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1? ?
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而P1Q1平面CDD1C1, 所以PQ∥平面CDD1C1?
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(2)AD⊥平面D1DCC1, ∴AD⊥P1Q1,? 又∵PQ∥P1Q1, ∴AD⊥PQ.?
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(3)由(1)知P1Q1 PQ,
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,而棱长CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=. 在Rt△P1DQ1中,应用勾股定理, 立得
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P1Q1=.?
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(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)当E为AB的中点时,求点E到面
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的距离;
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(Ⅲ)AE等于何值时,二面角的大小为。
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,。
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(Ⅰ)证明:由,,
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(Ⅱ)E是AB的中点,得。
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于是,有。
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设点E到平面的距离为,则
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。
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所以点E到平面的距离为。
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又,。
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由,得
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设所求的二面角为,则。
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有,得。
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解得,
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60、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,在正三棱柱ABC―A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点。(1)求证:DE∥平面A1B1C1;(2)求二面角A1―DE―B1的大小。 (1)取A1C1中点F,连结B1F,DF,∵D1E分别为AC1和BB1的中点,DF∥AA1, DF=(1/2)AA1,B1E∥AA1,B1E=(1/2)AA1,∴DF∥B1E,DF=B1E,∴DEB1F为平行四边形,∴DE∥B1F,又B1F在平面A1B1C1内,DE不在平面A1B1C1,∴DE∥平面A1B1C1
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(2)连结A1D,A1E,在正棱柱ABC―A1B1C1中,因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1,A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线,又因为B1F在平面A1B1C1内,且B1F⊥A1C1,,所以B1F⊥平面ACC1A1,又DE∥B1F,所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1―DE―B1的平面角。并且∠FDA1=(1/2)∠A1DC1,设正三棱柱的棱长为1,因为∠AA1C1=900,D是AC1的中点,所以即为所求的二面角的度数。
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61、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图:已知直三棱柱ABC―A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。 (I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;
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(II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论 (I)连结DF,DC ∵三棱柱ABC―A1B1C1是直三棱柱, ∴CC1⊥平面ABC,∴平面BB1C1C⊥平面ABC ∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD⊥平面BB1C1C
3' ∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影,
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在△DFC1中,∵DF2=BF2+BD2=5a2,=+DC2=10a2,
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=B1F2+=5a2, ∴=DF2+,∴DF⊥FC1 FC1⊥EF
(II)∵AD⊥平面BB1C1C,∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
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∴>,∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上
故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。
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62、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,AD∥BC,∠ABC=90°,且,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。 (I)求二面角P―CD―A的正切值; (II)求点A到平面PBC的距离。
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解:(1)在底面ABCD内,过A作AE⊥CD,垂足为E,连结PE
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∵PA⊥平面ABCD,由三垂线定理知:PE⊥CD ∵∠PEA是二面角P―CD―A的平面角
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在中,∴二面角P―CD―A的正切值为 (II)在平面APB中,过A作AH⊥PB,垂足为H∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC 又AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB ∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离
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在等腰直角三角形PAB中,,所以点A到平面PBC的距离为
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63、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在直三棱柱ABC―A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点G的位置; (Ⅱ)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小. 解法一:(Ⅰ)以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),
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设G(0,2,h),则
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∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即G是AA1的中点.
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(Ⅱ)设是平面EFG的法向量,则
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所以平面EFG的一个法向量m=(1,0,1)
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∵
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∴, 即AC1与平面EFG所成角为 解法二:(Ⅰ)取AC的中点D,连结DE、DG,则ED//BC
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又CC1⊥平面ABC,而ED平面ABC,∴CC1⊥ED. ∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面A1ACC1.
又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG. 连结A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C//DG. ∵D是AC的中点,∴G是AA1的中点. (Ⅱ)取CC1的中点M,连结GM、FM,则EF//GM, ∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM,交FM的延长线于H,∵AC⊥平面BB1C1C,
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C1H平面BB1C1C,∴AC⊥G1H,又AC//GM,∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M, ∴C1H⊥平面EFG,设AC1与MG相交于N点,所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.
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因为
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64、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)
点E为AB中点,点F为PD中点. (1)证明平面PED⊥平面PAB; (2)求二面角P―AB―F的平面角的余弦值 (1)证明:连接BD.
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是AB中点,
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面PAB,面PAB.
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连接EF,PED,
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为二面角P―AB―F的平面角.
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设AD=2,那么PF=FD=1,DE=.
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在
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即二面角P―AB―F的平面角的余弦值为
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65、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
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(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP; (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
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解(1)
(2)略
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(3)
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∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,
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于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF. 连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
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∴D1E⊥AFDE⊥AF. ∵ABCD是正方形,E是BC的中点. ∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF, 即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.…………6分 (II)当D1E⊥平面AB1F时,由(I)知点F是CD的中点. 又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC, 设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连结C1H,则CH是 C1H在底面ABCD内的射影. C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1―EF―C的平面角.
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在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=,
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∴tan∠C1HC=.
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∴∠C1HC=arctan,从而∠AHC1=.
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故二面角C1―EF―A的大小为. 解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
试题详情
A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E,F(x,1,0)
试题详情
(1)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF. 连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影. ∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1―EF―A的平面角.
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68、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是
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梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线
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AD1的距离为 ⑴求证:AC∥平面BPQ ⑵求二面角B-PQ-D的大小 ⑴连接CD1 ∵P、Q分别是CC1、C1D1的 中点。∴CD1∥PQ 故CD1∥平面BPQ
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又D1Q=AB=1,D1Q∥AB, 得平行四边形ABQD1,故AD1∥平面BPQ
∴平面ACD1∥平面BPQ ∴AC∥平面BPQ
(4分) ⑵设DD1中点为E,连EF,则PE∥CD ∵CD⊥AD,CD⊥DD1 ∴CD⊥平面ADD1 ∴PE⊥平面ADD1 过E作EF⊥AD1于F,连PF。则PF⊥AD1,PF为点P到直线AD1的距离
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PF=,PE=2 ∴EF= 又D1E=,D1D=1,∴AD=1 取CD中点G,连BG,由AB∥DG,AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC,AD⊥DD1∴AD⊥平面DCC1D1,则BG⊥平面DCC1D1 过G作GH⊥PQ于H,连BH,则BH⊥PQ,故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。
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由△GHQ∽△QC1P得GH=,又BG=1,得tan∠BHG=
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∴二面角B-PQ-D大小为arctan
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69、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知长方体ABCD―A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。 (Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1; (Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦值;
解 本题考查空间的线面关系,向量法及其运算。 (Ⅰ)证法一:如图建立空间直角坐标系。则D1(0,0,0)、O1(2,2,0)
试题详情
B1(4,4,0)、E(2,0,8)、A(4,0,8)、B(4,4,8)、 F(0,4,4)。
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=(-4,4,-4),=(0,4,4),
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=(-4,0,4)
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=0+16-16=0,=16+0-16=0 ∴AF⊥平面FD1B1.
证法二:连结BF、DF,则BF是AF在面BC1上的射影,易证得BF⊥B1F, DF是AF在面DC1上的射影,也易证得DF⊥D1F,所 以AF⊥平面FD1B1.
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=…… 解法二:在B1C1上取点H,使B1H=1,连O1H和FH。
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易证明O1H∥EB,则∠FO1H为异面直线EB与F所成角。
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O1F==2, ∴在△O1HF中,由余弦定理,得
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cos∠FO1H==
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70、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题: (1)求MN和PQ所成角的大小; (2)求四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比; (3)求二面角M―NQ―P的大小。
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解:(1)如图②,作出MN、PQ
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∵PQ∥NC,又△MNC为正三角形 ∴∠MNC=60° ∴PQ与MN成角为60°
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即四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比为1:6 (3)连结MA交PQ于O点,则MO⊥PQ 又NP⊥面PAQM,∴NP⊥MO,则MO⊥面PNQ 过O作OE⊥NQ,连结ME,则ME⊥NQ ∴∠MEO为二面角M―NQ―P的平面角 在Rt△NMQ中,ME?NQ=MN?MQ 设正方体的棱长为a
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∴∠MEO=60° 即二面角M―NQ―P的大小为60°。
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71、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图,已知四棱锥P―ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。 (1)求点P到平面ABCD的距离; (2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
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解:(1)作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PE
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∵AD⊥PB,∴AD⊥OB(根据___________) ∵PA=PD,∴OA=OD 于是OB平分AD,点E为AD中点 ∴PE⊥AD ∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角 ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
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即为P点到面ABCD的距离。 (2)由已知ABCD为菱形,及△PAD为边长为2的正三角形 ∴PA=AB=2,又易证PB⊥BC 故取PB中点G,PC中点F 则AG⊥PB,GF∥BC 又BC⊥PB,∴GF⊥PB ∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角 ∵GF∥BC∥AD,∴∠AGF=π-∠GAE 连结GE,易证AE⊥平面POB
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(2)解法2:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA
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72、浙江省金华十校2008―2009学年高三第一学期期末考试)
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如图,多面体ABCDS中,面ABCD为矩形,
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(I)求多面体ABCDS的体积; (II)求AD与SB所成角的余弦值。 (III)求二面角A―SB―D的余弦值。 解:(I)多面体ABCDS的体积即四棱锥S―ABCD的体积。
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所以…………4分
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如图建立空间直角坐标系
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AD与SB所成的角的余弦为…………9分
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(III)设面SBD的一个法向量为
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又
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设面SAB的一个法向量为
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…………11分
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,
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所以所求的二面角的余弦为…………14分 解法二:(I)同解法一
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(II)矩形ABCD,
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AD∥=BC,即BC=a,
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要求AD与SB所成的角,即求BC与SB所成的角。…………6分
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CD是CS在面ABCD内的射影,且
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BC与SB所成的角的余弦为
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从而SB与AD的成的角的余弦为…………9分
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(III)
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面ABCD。
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BD为面SDB与面ABCD的交线。
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SDB
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于F,连接EF
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从而得:
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为二面角A―SB―D的平面角…………11分
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在矩形ABCD中,对角线
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中,
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由(2)知在
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而
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为等腰直角三角形且
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,
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所以所求的二面角的余弦为…………14分
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(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦;
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73、(台州市2008学年第一学期高三年级期末质量评估试题
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(1)证明://平面;
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体积为?并说明理由.
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74、(台州市2008学年第一学期高三年级期末质量评估试题) 如图,四棱锥P―ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
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(1)证明PA//平面BDE; (2)求二面角B―DE―C的平面角的余弦值; (3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF? 证明你的结论. 解(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),…………2分
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B(2,2,0)
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设
是平面BDE的一个法向量,
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则由 ………………4分
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∵ …………5分
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(2)由(Ⅰ)知是平面BDE的一个法向量,又是平面DEC的一个法向量.
………………7分
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设二面角B―DE―C的平面角为,由图可知
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∴
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故二面角B―DE―C的余弦值为 ………………10分
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(3)∵
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∴
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假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面DEF,设,
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则,
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由 ………………13分
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∴ ………………14分
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即在棱PB上存在点F,PB,使得PB⊥平面DEF ………………15分 用几何法证明酌情给分
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75、(宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学)
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(Ⅰ)(略证):只需证即可。 ……6分
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则
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76、(浙江省嘉兴市高中学科基础测试) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°, M为AP的中点.
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(Ⅰ)求证:DM∥平面PCB;
(Ⅱ)求直线AD与PB所成角;
(Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积. 【解】
(I)取PB的中点F,联结MF、CF, ∵M、F分别为PA、PB的中点.
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∴MF∥AB,且MF=AB. ∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD且AB=2CD, ∴MF∥CD且MF=CD. ∴四边形CDFM是平行四边形. ∴DM∥CF. ∵CF平面PCB, ∴DM∥平面PCB.
4分
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(Ⅱ)取AD的中点G,连结PG、GB、BD. ∵PA=PD, ∴PG⊥AD. ∵AB=AD,且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,BG⊥AD. ∴AD⊥平面PGB. ∴AD⊥PB.
8分 (Ⅲ)VP-MBD=VB-PMD
10分
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77、(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题)已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长 为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅱ)求点C到平面PDB的距离;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小. 证明:(Ⅰ) 不论点E在何位置,都有BD⊥AE
…………1分 连结AC,由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形
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∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC ………3分
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又∵∴BD⊥平面PAC
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∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC ∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE
………………5分 解:(Ⅱ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
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侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
………………7分 设点C到平面PDB的距离为d,
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,
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---------------------------10分 (Ⅲ) 解法1:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
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∵CD=CB,EC=EC, ∴≌ ∴ED=EB, ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
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∴BG⊥EA ∴为二面角D-EA-B的平面角 ……………… 12分 ∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
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在Rt△ADE中,==BG 在△DGB中,由余弦定理得
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∴=
………………15分 解法2:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
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则,从而……………… 11分 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
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由法向量的性质可得:,
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令,则,
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∴
………13分
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设二面角D-AE-B的平面角为,则
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∴ ………………………………… 15分
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解:(Ⅰ)(略证):只需证即可。 ……6分
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则
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解:(Ⅰ)(略证):只需证即可。 ……6分
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则
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