1、了解函数模型的含义及建立函数模型的总体思路

2、掌握建立函数模型的方法及应用的步骤

【教学重点】利用数学模型解决实际问题。

【教学难点】分析实际问题的数量关系，建立合适的函数模型。

【教学流程】

解：【方法一】（26-14.1）÷0.7×100＝1700（米）

答：山高1700米

说明：这一方法实质是用的小学的算术方法

【方法二】设山高为x米，则×0.7=26-14.1,x=1700     答：山高1700米

说明：这一方法是通过方程求解。

【方法三】设x米处温度为f(x),则f(x)=26-×0.7(x>0)  f(x)=14.1,x=1700答：山高1700米

说明：这一方法是通过函数求解。

总体说明：1、由于所以将不等式、方程、函数统称函数模型。这样解答应用题的具体步骤及思路为：

（用函数模型思路解题步骤是：设??列??解??答）

2、以上直接通过设未知量得到关系式再求解，称直接法

练习1、某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场需求？

(已知)

（解：每过滤一次可使杂质含量减少，则杂质含量降为原来的，那么过滤次后杂质含量为，结合按市场要求杂质含量不能超过， 则有即则故，

   又，故，即至少要过滤次才能达到市场要求。）

练习2、某商人进货已经按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价，以便按新价让利20％销售后仍然能获得售价25％的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y的关系式是什么？

解：设新价为t,则，t=,y=20%tx=(x>0)

例2、国家收购某种农副产品的价格是120元/担，征税标准为8％，计划可以收购m万担。为了减轻农民负担，决定调节税率降低x%，预计收购量可以增加2x%

(1)写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）使此项税收在税率调节后等于元计划的78％，请确定x的值

分析：由于给出的信息比较多，建一个表格，将基本信息列出，有：

时间段

征税

收购（万担）

收购价（元/担）

调节前

8％

m

120

调节后

(8-x)%

m(1+2x%)

120

于是

解：（1）y=(8-x)%m(1+2x%)120=(100+2x)(8-x)  (0<x≤8)

（2）y=120×8％m×78％(8-x)%m(1+2x%)120=120×8％m×78％x²+42x-88=0,0<x≤8，x=2

说明：对于信息量比较大又有对比度的情况，列表来建立各数量关系，称列表法

例3、张先生买了一部手机，欲使用“神州行”卡或“中国联通130网” 各种收费标准如下

类别

月租（元）

本地费用（元/分）

长话（元/6分）

中国联通130网

12

0.36

0.06

神州行

0

0.6

0.07

若张先生每月拨打本地话费的时间是长途话费的5倍，且每月通话时间在(40,50)分钟之间，则他选择哪种比较合算？

解：设本地为x分，则长话时间为5x，中国联通130网话费为f(x),神州行为g(x),则f(x)=12+0.36x+0.06×＝x+12,g(x)=0.6x+0.07×＝，x+5x∈(40,50),<x<,作出图象（或计算可知g(x)<f(x)）故他宜选用神州行卡

说明：可以通过图象来反应函数关系称图象法

2、函数模型包括函数本身，还包括方程与不等式

3、建立函数模型的具体技巧有：直接法、列表法、图象法

【补充作业】

1、某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进_______份，才能使每月所获的利润最大,最多可赚得_______元？

2、节日某商场举行“买100送20连环送”活动，即：顾客购物每满100元，就可以获增商场20元的购物卷。若某人有680元现金在活动区间到此商场购物，最多可以获得商场购物卷使用累计___________元。

3、某电脑用户不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买两盒，则不同的选购方式有________种。

4、甲乙两种商品，甲商品供不应求，连续两次提价10％；乙商品滞销连续两次降价10％，最后甲乙都以9801元售出，则与总原价比较，________（填“多”或“少”）赚了_______元

5、某地的物价从1967年的100增加到2006年的500，则年平均增长率为________(精确到小数点后两位，参考数据及式子：ln(x+1)≈x,lg2≈0.3,ln10≈2.3)

6、为了保护环境，某厂投资50万元建成一个处理系统，把污染环境的废料变为有用的生产原料。如果每月用2万元的成本进行生产，那么生产收入(单位：万元)与生产时间t(单位：月)的关系为，问： (1)最少需经过几个月，生产收入与总投入基本平衡？()； (2)经过几个月可获得最大利润？

7、某租赁公司拥有汽车100辆，当每月的月租金为3000元时，可以全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆。租出的车辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元。（1）当每月月租金为3600元时，能租出多少辆？（2）每月月租金为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？

8*、某企来生产一种机器的固定成本(即固定投入)为万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)万元，市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位:万元)函数为，其中是产品生产的数量

(单位：百台) (1)求利润表示为产量的函数； (2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量是多少时，企业才不亏本？

   【解答】

1、设每天应从报社买进份，易知。设每月赚元，得

＝0.3x+1150↑所以，可知每天应从报社买进400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元

2、160

3、7

4、9801×2－（＋）＝－598，少，598

5、100(1+x)⁴⁰=500,40ln(1+x)=ln5,lg5=,40x=ln10lg5=2.3(1-lg2),x≈0.04=4%

6、解：设生产t个月可得利润为

  设，则

(1)要使生产收入与总投入基本平衡，即使，令得，

解得(舍去)由得即最少要经过4个月，生产收入与总投入基本平衡。

(2)由知，时，，由时，即经过个月，可获得最大利润万元。

7、（1）100－＝88（辆）

（2）设租金为x元，则未租出的为辆，月收益y=（100－）（x-150）-×50＝－(x-4050)²+307050,x=4050时，y_max=307050

答：当每月月租金为3600元时，能租出88辆？（2）每月月租金为4050元时，租赁公司月收益最大，最大月收益是307050元

8*、解：(1)利润函数

(2)当时，，

当时，(万元)；

当时，函数是递减函数，则(万元)。

。

答：当年产量是百台时，利润最大。

(3)企业不亏本，即

  或

  解得，或，其中，

  。

  答：即企业年产量在台到台之间时，企业不亏本。

              2.6函数模型及应用（2）??函数模型应用与比较

【教学目标】

2、函数模型不惟一时，需要比较找出误差最小的模型来进行

【教学难点】数据的拟合

【教学重点】函数模型的比较

【教学流程】

(1)设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

(2)当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本)

解：（1）p=f(x)=

(2)x=450时，p=51,利润为(p-40)x=4950（元）

答：当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是4950元

解函数应用题一定要注意函数的定义域

练习：某商场在近30天内的销售价格P（元）与时间t(天)的函数关系是：

P=,该商品的日销售量Q（件）与天数函数关系是Q=-t+40,0<t≤30，t∈N^*,求这种商品的日销售额的最大值，并指出是哪一天销售额最大？

（答案：y=QP=,t=10时y_极大＝900；t=25时，y_极大＝1125；当第25天时，日销售额最大为1125元）

例2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a₁，a₂，…a_n共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a₁，a₂，…，a_n求出a的值

解：根据题意，求x=? 时，y=(x-a₁)²+(x-a₂)²+……+(x-a_n)²=nx²-2(a₁+a₂+……+a_n)x+

a₁²+a₂²+……+a_n²,当x=时，y最小，所以a=

     说明：应用题的关键是读懂题意

例3、下表是某款车的车速与刹车后停车距离，试分别就三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为时的刹车距离。

车速(km/h)

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

停车距离(m)

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

解：【方法一】若以为模拟函数，将代入函数关系式，得

，解得，

以此函数式计算车速为，时，停车距离分别为，与实际数据相比，误差较大。

若以为模拟函数，将代入函数式，得y=0.3251x^1.09,其他误差也比较大

解得，

以此函数式计算车速为时，停车距离分别为，与前两个相比，它比较符合实际情况。

当时，。即当车速为时，停依次车距离为。

    【方法二】用数据曲线拟合：先在Excell中输入数据→选中数据区→插入/图表/图表类型/散点图/完成→对准描出的某一点右击/添加趋势线/选指数、乘幂、多项式

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

→选项/显示公式和显示R²的值→确定   R²越接近1，拟合的越好，所以选择多项式模型y=0.0064x²+0.1256x+2.7374

说明：选择哪个函数模型，主要考虑其误差最小

练习：某公司今年一月份推出新产品，成本为元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

销售价(元/件)

650

662

720

800

900

销售量/件

350

333

281

200

100

(1)在直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对的对应点，并确定与 的一个函数关系式

(2)设经营此产品的月销售利润为元，根据上述关系写出关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大利润。

((1)

650

350

662

333

720

281

800

200

900

100

近似在一条直线上取后两组，有f(x)=100-x  x∈N^*

(2)S=(1000-x)(x-400)=-x²+1400x-400000,当x=700时利润最大)

2、函数模型未必惟一，这时需要比较哪个更合适，一般找出一个，检验误差最小；也可以举行数据拟合，取回归系数R²最接近1者

【补充作业】

1、某物体一天的温度T（⁰C）是时间t（时）的函数，T(t)=t³-6t+60，t=0表示12：00，其后t取正，则上午8时的温度是___________

2、有一块“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如图示，要用此建一座地基为长方形的建筑物，地基面积最大是______________

3、通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂里学生接受一个概念的那里与教室在引入概念之前提出和描述问题的时间有关。分析结果表明学生接受概念的能力的经验公式为G(x)=-0.1x²+2.6x+43,x∈(0,45),其中x表示提出和描述问题的时间（单位：分钟），G(x)是一个接受能力的度量。则当_______________时间时，学生接受能力最强。

4、《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额

税率

不超过500元的部分

5%

超过500元至2000元的部分

10%

超过2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得为__________

5、假设你有一笔资金用于投资，投资时间1个月，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案

回报

一

每天回报40元

二

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元

三

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番

若以每天回报作为衡量标准，你应选用方案____________投资

6、根据市场调查，某商品在最近的40天内的销售价格f(t)与时间t满足关系f(t)=

,销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=-t+,0≤t≤40，t∈N^*,求这种商品的日销售额的最大值

 7、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元．

(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

8*、(1)校团委带领学生深入食堂调查学校购买大米的情况，发现问题：

①大米贮存在仓库的费用为每天每吨2元。

②学校有两千多人，食堂每天约需大米1吨，现市场价每公斤大米元。

③每隔一定的天数，食堂管理员去买一次大米，运费为元。

(2)食堂管理员遇到三个问题：

①每次购买大米后到用完最后1吨大米的仓库贮存费用能否用数学解析式表示？(假定食堂每次是在用完最后一吨大米的当天购买)

②食堂应隔多少天购买一次大米，才能使平均每天支付的总费用最少？

③供粮公司提出价格优惠条件，一次购买量不少于吨，米价可为原米价的95%，食堂能否接受此条件？

【答案】

1、20^）C

2、720

3、13分钟

4、2357.8元

5、三

6、H(x)=f(x)g(x)=,当t=10或11时，h_max(t)=176,答：这种商品的日销售额的最大值为176元

7、(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

 y=a?+bv²?=S(+bv)故所求函数及其定义域为 y = S(+bv)，v∈

 (Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有y = Sb(+v),f(v)=+v在(0,]↓，在[,+∞)↑  故若，则当时，全程运输成本y最小．

若，当时，有也即当v=c时，全程运输成本y最小．

综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为c．

8*、建模1  设每隔天购买一次大米，则一次购进吨米，进米第一天的仓库贮存费用为，进米第二天的仓库贮存费用为

    最后一天的仓库贮存费用为，则大米贮存在仓库的费用为

建模2  设食堂平均每天支付的总费用为，则

令，则在上单调递增，在上单调递减。

当且仅当，即时，等号成立，故每隔天购买一次大米，能使食

堂平均每天支付的总费用最少。

建模3  设食堂接受价格优惠条件后，每天支付的总费用为，则

       ，

令，设则

在上单调递增。

    故当时，的最小值为元，由于，所以学校食堂能接受价格优惠条件。