例1、钢琴内部有许多平行弦构成，弦从长到短依次排列，第一根弦长为a,第二根弦长为aq,第三根为aq²,……,后一根与前一根的比都是q。在各弦所在平面内，以第一根弦所在直线为y轴，各弦底端与弦垂直的直线为x轴，建立直角坐标系，将弦的另一端点A₁,A₂,A₃,……,A₁₃用一光滑曲线连接起来，如图：

(1)写出这些点(x_k,y_k)所在曲线的函数关系式

解答：y=aq^x-1

(2)能否由一个指数函数的图象经过平移得到(1)中所得函数的图象，如果可以，写出其函数关系式，并说明平移过程

分析解答：要化成一个指数函数，可设a=q^c,这样c=log_qa,有y=q^x+c-1=,它可以看作由y=q^x沿x轴平移log_qa-1个单位得到

(3)已知弦振动的频率与弦长成反比，而且每隔12个弦，音频变为原来的2倍（即音调提高八度），试求q的值

解答：y₁=2y₁₃, a=2aq¹²q==

说明：通过此例，了解函数图象的描点法作图的实际背景，进一步把握指数与对数的运算

例2、A、B、C三个家庭各有余款2万元，准备将来为子女上大学用而存入银行教育储蓄，教育储蓄分三年、六年、九年三个等级，有工行和建行两个银行都可以存入，都不计利息税，其年利率与结算方式见下表：

银行

三年期%

六年期%

九年期%

结算方式

工行

2

2.25

3

以单利计息：每年只以本金计利息，即：利息=本金×年利率×年数

建行

1.75

2.25

2.75

以复利计息：每年以前几年的本利和计息

（1）如果A、B、C三个家庭分别计划存三年、六年、九年，试说明：三个家庭各应选存的银行，并求出到时取出的本利和（精确到整数元）

解答：A家庭：y_工=2×(1+3×2%)=2.12（万元）=21200元，y_建=2×（1+1.75）³=2.1067(万元)≈21067元，所以家庭A选工行，到期本利共21200元

B家庭：y_工=2×(1+3×2.25%)=2.135（万元）=21350元，y_建=2×（1+2.25）³=2.1381(万元)≈21381元，所以家庭B选建行，到期本利共21381元

C家庭：y_工=2×(1+3×3%)=2.18（万元）=21800元，y_建=2×（1+2.75）³=2.1696(万元)≈21696元，所以家庭C选工行，到期本利共21696元

(2)如果国家政策调整为：建行教育储蓄统一调整为2%，工行统一调整为2.25%,结算方式不变，存款年限可以为1~9中的任何一年，试说明对存款者而言，在什么情况下在工行、什么情况下在建行存款更有利？

解答：设本金为a元，经过x年，y_建=a(1+2%)^x=a1.02^x,y_工=a(1+2.25%x)=a(1+0.0225x)

作y=1.02^x，与y=0.0225x+1的图象,有交点为(0,1)，在正整数集上恒有1.02^x>0.0225x+1

故选建行

(3)由此探究在a>1时，指数函数y=a^x与一次函数y=cx+d(c≠0)交点的个数。

（至多两个）

说明，通过此例，体会上学不易的现实，了解函数零点分布的特征与图象的关系。

例3、如何作函数y=x+(k为正常数)的大致图象？

分析：作一个函数图象，用描点法难于画出时，一般先考虑函数的性质，如：如果奇偶性，可以先画出原点一侧图象，另一侧对称即可；画一侧时，可以先考虑单调性，再考虑它们近似于学过的哪个函数的图象。

(1)判断函数y=x+的奇偶性

解答：定义域为{x|x≠0，x∈R},关于原点对称。而f(-x)=-f(x)所以函数为奇函数

(2)判断函数y=x+在x>0上的单调性

解：对于任意x₂>x₁>0,f(x₂)-f(x₁)= (x₁x₂-k), >0,而x₂²>x₁x₂>x₁²,f(x₂)>f(x₁),∴如果x₁²≥k,则x₁x₂-k>0, f(x₂)>f(x₁),f(x) ↑,此时x₁≥；如果x₂²<k,x₁x₂-k<0,f(x₂)<f(x₁)，f(x) 单调减 ，此时x₂<.从而，在x>0上，函数y=x+的单调增区间是，减区间为

(3)函数f(x)= x+在x>0上位置如何？又如何弯曲？

解：f(x)= x+>x,说明在x>0上，函数的图象在y=x的上方；其次，在x无限增大时，f(x)无限趋近于x,说明函数图象无限趋近y=x；在无限趋近于0时，f(x)无限趋近于,说明它与一个反比例函数图象很接近。

 (4)作出函数在x>0上的草图，从而得到在定义域上草图。通过图象说明函数的单调区间及最值情况。

解：草图如图：

函数f(x)=x+的单调增区间是：及；单调减区间是及。函数在定义域内没有最值。

说明：通过此例，将二分法近似思想用到函数图象上，也对这一常见函数有了更清楚的认识。

1、在函数单调增的定义中，对区间D任意x₁、x₂，如果 x₁<x₂，f(x₁)<f(x₂)，称函数y=f(x)在区间D上单调增。如果令x₂-x₁=d,x₁=x,则此定义变形为“对区间D内任意x及正数d,x+d在D中，若f(x+d)>f(x),则函数y=f(x)在区间D上单调增”。仿此，写出函数y=f(x)在区间D上单调减的变形定义_________

2、我们学习的函数多数是可以用列表法、图象法或解析法表示的，这种函数称具体函数，相应的不能用这三种表示方法中任何一种表示的称抽象函数。有些抽象函数也有其实例背景，如：一个函数y=f(x)对任意a,b满足f(a+b)=f(a)+f(b),这里没有明确指明是那个函数，属于抽象函数，但是我们知道，一个函数y=ax(a≠0)是满足这个给出的条件的，我们称此函数y=ax(a≠0)为抽象函数的背景函数。根据此规定，写出满足下列条件的一个背景函数（只写出一个即可，不必写全）

(1)对任意a,b,f(ab)=f(a)+f(b)；(2) 对任意a,b,f(a+b)=f(a).f(b);(3) 对任意a,b,f(ab)=f(a).f(b)

3、一个函数y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，这样的函数解析式为_______，这样的函数有________个

4、心理学家发现，一般情况下，学生注意力随教师讲课时间的变化而变化：讲课开始时，学生注意力逐步增加，中间有段时间学生的注意力保持较为理想状态，以后学生注意力逐渐分散。研究发现，注意力y随时间t(分钟)的函数关系如下：

y=f(t)=

(1)讲课开始后第5分钟与第25分钟比较，何时更为集中？

(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)一道综合题，需要讲解24分钟，但要求学生注意力最低达到180，能否经过适当安排，老师在学生注意力达到所需状态下讲完此题？说明理由。

5、已知函数f(x)=  (1)计算f(-7),f(0),f(-4)的值；(2)写出当6≤x<10,2≤x<6,-2≤x<2时函数f(x)的解析式；  (3)（选作）由此推测f(x)的解析式

6、销售甲、乙两种商品所得的利润分别是P万元和Q万元，它们与投入资金t万元关系有经验公式：P=t,Q=.今将3万元投入经营甲、乙两种商品，其中对甲商品投入x万元

(1)写出总利润y万元与x的函数关系式

(2)问对甲商品投资多大时，总利润最大，最大为多少万元？

7、某市现有人口100万，如果年自然增长率为1.2%.(1)写出该市人口数y万与年份x年的函数关系式；(2)计算10年后该市的人口总数（精确到0.1万人）；(3)大约多少年后，人口总数达到120万？(4)要使20年后，该市人口不超过120万人，年自然增长率应控制在多少？

8(选作) （1）作出点(-1,2)、(1,2)、(2,4)关于直线y=x的对称点，由此可以得到点(x₀,y_.0)关于直线y=x的对称点是什么？

(2)由于直线y=x+1相当于将直线y=x向左平移一个单位（或向上平移一个单位）得到，相应的对称点也进行了平移。以上各点关于直线y=x+1的对称点呢？

(3)点(x₀,y₀)关于y=x+b对称点为什么呢？

(4)仿上方法探究点(x_0,y₀)关于直线y=-x+b的对称点又是什么？

(5)由上面你能得到什么一般结论？

[答案]1、对区间D内任意x及正数d,x+d在D中，若f(x+d)<f(x),则函数y=f(x)在区间D上单调减

2、(1)写一个对数函数即可；(2)写一个指数函数；(3)写一个幂函数

3、f(x)=0,无数个（定义域关于原点对称即可，随意）

4、(1)25分钟； (2)10,10；   (3)求出180之上的时间为28.57-4>24可以完成

5、(1)f(7)=14,f(0)=15,f(-4)=15

(2) 6≤x<10时,f(x)=x+7；2≤x<6时,f(x)=x+11;-2≤x<2时,f(x)=x+15

(3)f(x)=

6、(1)y=,0≤x≤3；(2)甲投入0.75万元，最大利润1.05万元

7、(1)y=100×1.012^x；(2)112.7;(3)15年；(4)0.9%之内

8、(1)关于y=x的对称点分别是(2,-1),(2,1),(4,2)如图1,猜想：点(x₀,y_.0)关于y=x的对称点为(y₀,x₀)

(2) 关于直线y=x+1的对称点分别为(1,0),(1,2),(3,3).如图2

(y₀-b,x₀+b)

(3) (y₀-b,x₀+b)

(4)点(x₀,y₀)关于y=-x+b对称点为(b-y₀,b-x₀)

(5)关于直线y=±x+b对称点规律：从对称轴方程中解出 x,y，再将原来点的坐标代入方程的右边，即可得到对称点的横、纵坐标