分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点．虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是基本事件有无限多个，不能用古典概型的方法求解．如右图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，

于是事件发生的概率P（A）=．　　　　　　　　　

情景２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的，射中黄心的概率为多少？

分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．如图，记“射中黄心”为事件B，由于中靶心随机地落在面积为cm²的大圆内，而当中靶点落在面积为cm²的黄心内时，

事件B发生，于是事件B发生的概率P（B）==0.01．

这两个实验中，总体含有的基本事件都是无限个，每个基本事件出现的概率是等可能的，将这种问题称几何概型。

二．建构数学

１．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．

３．几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=．

说明：其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积．

例１．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．

分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．（“测度”为面积）

解：记“豆子落入圆内”为事件A，则

．

答：豆子落入圆内的概率为．

说明：区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

练习：在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？

分析：病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视作区域d，所有种子可视为区域D．（“测度”为体积）

（解：取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则

．答：含有麦锈病种子的概率为．）

例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D．当点M位于中线段AC’内时，AM<AC，故线段AC’即为区域d．（“测度”为长度）

解：在AB上截取AC’=AC．于是

　　　　　　．

答：AM小于AC的概率为．　　　　　　　　　　　　

思考：如果将条件改为自点C引射线，交AB于点M,求AM<AC的概率，结果是否一样？一样说明理由，不一样求其概率。

分析：该题变换后，是自C引射线，此射线出现的位置是等可能的，但并不意味着射线与AB的交点M在AB上出现的位置是等可能的，原因是：（如图：

若∠BCM₂=∠M₂CM₁,线段BM₂未必和M₂M₁相等）。这样，P(AM<AC)===  答：AM<AC的概率是

说明：用几何概型时一定要注意，等可能出现的到底是什么测度。

练习：教材P103练习1~4

 [课外作业]教材P103---104习题1~5

补充习题：

1、有一圆盘，其盘面被均匀分成8份，其中相对的两部分部分被涂上黑色，其余部分不涂颜色，游戏规则是投中黑色中奖，则中奖的概率为（     ）

（A）     （B）    （C）   （D）

2、悬在空中等体积的球和正方体，被枪击中的概率(     )

（A）球大一些  （B）正方体大一些  （C）一样大   （D）不能确定

3、一艘轮船停靠在某一港口，只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间是早晨5：00~7：00和下午5：00~6：00，则该船在一昼夜内可以出港的概率为___

4、先后掷两次骰子，第一次记下点数为x,第二次记下点数为y,构成数对（x,y）,则（x,y）落在x²+y²≤5内的概率为______

5、如图，在墙上挂着一块边长为１６ｃｍ的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为２ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ，某人站在３ｍ之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（１）投中大圆内的概率是多少？
（２）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（３）投中大圆之外的概率是多少？

答案：1、B；

2、B（注意求的是最大截面面积）；

3、；

4、

5、解：（1）记“投中大圆内”为事件A,P(A)=

    (2) 记“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B,P(B)=

    (3) 记“投中大圆之外”为事件C,P(C)=

§3.3   几何概型(2)

[教学目标]

[教学重点]会进行简单的几何概率计算．

[教学难点]模型的建立与区别

[教学过程]

例1、已知矩形ABCD中，AB=5,BC=7.在正方形内任取一点P,（1）求∠APB>90°的概率（2）求∠APB=90°的概率

解：（1）点P落在以AB为直径的半圆内时，∠APB>90°，故其概率P=半圆面积/矩形面积=

（2）当点P落在以AB为直径的半圆周上时，∠APB=90°，其概率为0

该题更进一步说明：概率为0未必是不可能事件，但不可能事件概率一定为0；同理必然事件概率为1，概率为1的事件未必是必然事件。

练习：甲、乙二人相约在9：00~10：00这段时间内在约定地点会面，先到的人如果等候的时间超过20分钟便离去，问二人能会面的概率多少？二人同时到达的概率是多少？

解：在平面上建立直角坐标系，直线x=60,y=60,x轴和y轴围成一个正方形的区域G，设甲9时x分到达会面地点，乙9时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x,y）对应，于是试验的所有可能结果与G中的点一一对应。由题意，每一个试验结果是等可能的，因此试验是几何概型。甲、乙两个能会面是指|x-y|20,P(A)=；同时到达的概率为0

例2：在长度为a的线段（不包括端点）上随机选择两个点，这两个点把线段分成三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率

解：设三条线段的长度分别为x,y,a-x-y,则 

   三条线段能够成三角形，除了上面条件外，还有,  P（A）=

练习：任意三条长度不为0的线段，求其能构成三角形的概率

（设三条线段从小到大记为a,b,c,设=x,=y,则0<x≤y≤1，能构成三角形除了此条件外, 还有条件x+y>1,画出平面区域，知：能构成三角形的概率为0.5；从直观上也能感觉到任意三条线段要么能构成三角形，要么构不成三角形，各占1/2）

例3、如图，设有一个正三角形网格，其中每个最小三角形的边

长都等于a，现有一直径等于a的硬币投到此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率

分析：因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格有公共点只要圆心到网格线的距离小于或等于半径.只要考虑一个三角形即可，将此三角形的各边沿与其垂直的方向向三角形内部平移，得到一个小三角形，圆心应落在此小三角形内

解：P==0.82

例4．利用随机模拟方法计算曲线y=，x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积．

分析：在直角坐标系中画出正方形（x=1，x=2，y=0，y=1所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．

解：（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，a₁₌RAND，b=RAND；

（２）进行平移变换：a=a₁+1；（其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标）

（３）数出落在阴影内的点数N₁，用几何概型公式计算阴影部分的面积．

例如，做1000次试验，即N=1000，模拟得到N₁=689，所以=0.689，即S0.689．

Excll操作步骤：

S1:分别在单元格A1,B1,C1中键入a,b,b-1/(a+1)

S2:在A2单元格中插入函数/RAND/确定/确定/拖动单元格到A10001生成1000个随机数

S3:同S2在单元格B列也生成一系列1000个随机数

S4:在C列计算b-1/(a+1)的每个值

S5:在D列任意一个单元格，用countif函数统计C列小于0的数字个数

S6:S5中得到的数除以1000，得到该值的近似数就是面积

1、现有100mL的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20mL的蒸馏水，则抽到细菌的概率为_______

2、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中

正方形区域的概率为______　　　　　　　　　　　　　

3、如图所示矩形取各边三等分点，连接相对等分点组成新的图形，给其中小矩形编号如图，随机向这个矩形撒豆，撒180粒豆，则可能落入5号区域___粒？

7

8

5

6

5

4

1

2

3

4、边长为2的正方形ABCD,现随机地向正方形内投一点P(落到正方形ABCD外不算)，求点P到点A距离小于1的概率

5、如图，，，，

在线段上任取一点，

试求：（１）为钝角三角形的概率；

（２）为锐角三角形的概率．

6、用计算机随机产生一个有序二元数组（x,y）,满足-1x1,-1y1,记事件“|x|+|y|1”为A,求P（A）

7设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于６ｃｍ．现用直径等于２ｃｍ的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率．

8、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，那么所画的弦的长度大于R的概率为______

答案：

1、

2、

3、40

4、

5、解：如图，由平面几何知识：

当时，；

当时，，．

（１）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形

记＂为钝角三角形＂为事件，则

即为钝角三角形的概率为．

（２）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，

记＂为锐角三角＂为事件，则

即为锐角三角形的概率为．

6、

7、

8、