2008-2009学年度扬州大学附属中学高三数学月考试卷
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.若集合,满足,则实数= ▲ .
2.已知虚数z满足等式: ,则 ▲ .
3.函数的最小正周期是 ▲ .
4.某算法的伪代码如右:则输出的结果是 ▲ .
5.已知条件p:x≤1,条件q: ,则p是q的 ▲ 条件.
(填“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”或是“既不充分也不必要条件”)
7.在等差数列中,若,则 ▲ .
8..给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题:
①若;
②若m、l是异面直线,;
③若;
④若.
其中为真命题的是 ▲ .
9.若不等式对一切实数恒成立,则实数的取值范围是 ▲ .
10.当时,函数的最小值是____ ▲ ___.
11.在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若直角三角形中,,,则实数m= ▲ .
12.椭圆,右焦点F(c,0),方程的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆的位置关系是 ▲ .
13. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说:“可视为变量,为常量来分析”.
乙说:“寻找与的关系,再作分析”.
丙说:“把字母单独放在一边,再作分析”.
参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数的取值范围是 ▲ .
14. 给出定义:若(其中m为整数),则m 叫做离实数x最近的整数,记作= m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题:
①函数y=的定义域为R,值域为;②函数y=的图像关于直线()对称;③函数y=是周期函数,最小正周期为1;④函数y=在上是增函数。
其中正确的命题的序号 ▲ .
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15、(本小题满分14分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的分成五段,…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求出物理成绩低于50分的学生人数;
(2)估计这次考试物理学科及格率(60分及
以上为及格)
(3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人,
求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若m,n,试求|mn|的最小值.
如图,、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点,沿将折起到的位置,连结、,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
18.(本小题满分15分)
已知直线:(为常数)过椭圆()的上顶点和左焦点,直线被圆截得的弦长为.
(1)若,求的值;
(2)若,求椭圆离心率的取值范围.
19.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性并求出其单调区间;
(2)若函数的图象与直线至少有一个交点,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意,都有成立.
20.(本小题16分)
已知:集合.
(1)证明:不存在,使得1,,依次既是一个等差数列的前三项,又是一个等比数列的前三项。
(2)是否存在,使得1,,依次既是一个等差数列的第1、3、8项,又是一个等比数列的第1、3、8项?证明你的结论。
(3)是否存在,使得1,,依次既是一个等差数列的第r、s、t项,又是一个等比数列的第r、s、t项?证明你的结论.
附加题
1.选修4―2 矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).
(1)求矩阵M;
(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.
2.选修4―4 参数方程与极坐标
圆和圆的极坐标方程分别为.
(1)把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆,圆两个交点的直线的直角坐标方程.
3.动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且点P到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)求曲线C与曲线所围图形的面积.
4.一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.
(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;
(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.
1
2
3
4
5
6
7
8
2
9
充分不必要
4
①②④
9
10
11
12
13
14
或0
点P在圆内
①②③
15.解: (1)因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为:
所以低于50分的人数为(人)………………………………………….5分
(2)依题意,成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于50分的为第一组),
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是%.
于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.
(3)“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人,他们成绩至少有一个不低于50分的概率为: ……………14分
16.解:(1),
即,
∴,∴.
∵,∴.………………………………………………………………7分
(2)mn ,
|mn|.
∵,∴,∴.
从而.
∴当=1,即时,|mn|取得最小值.
所以,|mn|.………………………………………………………………14分
17.(1)证明:E、P分别为AC、A′C的中点,
EP∥A′A,又A′A平面AA′B,EP平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 证明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC
∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
注:直角三角形条件在证这两问时多余了,可直接用两侧面的直角三角形证明即可。
18.解:(1)取弦的中点为M,连结OM
由平面几何知识,OM=1
得:,
∵直线过F、B ,∴则 …………………………………………6分
(2)设弦的中点为M,连结OM
则
解得
∴ …………………………………………15分
(本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得)
19.
第(3)问的构造法可直接用第二种方法,作差后用代换即可。
20.解:(1)由方程组的解为不符合题设,可证。………3分
(2)假设存在。
由方程组,得,即…5分
设(),可证:当时,单调递减且;当时,单调递减且。
,设,则。………7分
①当时,,递增,故,
于是,在上单调递减。
设,则,在上递增,,即,所以。………9分
②当时,,递减,故,
于是,在上单调递减。
,在上递减,,即,所以
由函数()的性质可知满足题设的不存在。………11分
(3)假设1,,是一个公差为的等差数列的第r、s、t项,又是一个等比为等比数列的第r、s、t项。于是有:,
,
从而有, 所以。
设,同(2)可知满足题设的不存在………16分
注:证法太繁,在第二问中,可用来表示,消去可得,则构造易得到极值点为。
附加题参考答案
附1.(1)设M=,则有=,=,
所以且 解得,所以M=.…………………………5分
(2)任取直线l上一点P(x,y)经矩阵M变换后为点P’(x’,y’).
因为,所以又m:,
所以直线l的方程(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0.………………………………10分
附2.解:以有点为原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1),,由得.
所以.
即为圆的直角坐标方程.
同理为圆的直角坐标方程. ……………………………………6分
(2)由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为. …………………………10分
附3.(1)设P(x,y),根据题意,得.
化简,得.………………………………………………………………5分
(2).……………………………………10分
附4.(1)记事件A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知 ………………………………4分
(2)ξ可取1,2,3,4. ,
;………………8分
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
答:ξ的数学期望为 …………10分
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