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    南昌市2008-2009学年度高三测试卷数学（2）

    一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

    1．已知集合若M∩N={-3}，则a的值是（    ）

           A．-1                       B．0                        C．1                        D．3

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    2．函数的定义域是                                                      （    ）

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           A．（，+∞）     B．（，1）         C．（，）       D．（-∞，）

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    3．将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆

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       相切，则实数的值为                                                                                      （    ）

           A．0或10               B．-2或8                C．-3或7                D．1或11

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    4．设Sn为数列{an}前n项和，且an=-2n+1，则数列的前11项和为                （    ）

           A．-45                     B．-50                     C．-55                     D．-66

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    5．已知函数（a、b为常数a≠0，x∈R）在处取得最小值，

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       则函数是                                                                                   （    ）

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           A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称   B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称

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           C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称  D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

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    6．椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜

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       率为，则的值为                                                                                      （    ）

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           A．                 B．                 C．                   D．

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    7．二元函数的定义域记为，则函数=[xlin（y-x）]

       的定义域D所表示的平面区域为                                                                       （    ）

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    8．定义域为R的函数满足f（-4-x）=f（x+8），且y=f（x+8）为偶函数，则（    ）

           A．是周期为4的周期函数                      B．是周期为8的周期函数

           C．是周期为12的周期函数                     D．不是周期函数

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    9．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在直线成异面直线的概率为            （    ）

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           A．                     B．                     C．                    D．

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    10．如图，△ABC与△ABD分别是等腰直角三角形与

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           正三角形，当BC与平面ABD所成的角是arcsin

           时，锐二面角C―AB―D等于                 （    ）

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           A．                                                     B．

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           C．                                                     D．

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    11．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就这这些试验成功，则在10次试

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           验中，成功次数的期望是                                                                             （    ）

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           A．                    B．                    C．                    D．

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       （文）某路段监察站监控录像显示，在某时段内，有

           1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆

           汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频

           率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽

           车中速度不小于90kn/h的约有                 （    ）

           A．400辆                                                B．300辆

           C．200辆                                                D．100辆

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    12．双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点Pn（xn，yn）（n=1，2，3）在其右支

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           上，且满足，则x2009的值是                       （    ）

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           A．4017            B．4018             C．4017                   D．4018

     

     

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    二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

    13．已知的展开式中项的系数为3，则实数a的值为          。

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    14．一个正方体表面展开图中，五个

           正方形的位置如图阴影所示，第

           六个正方形在编号1到5的位置，

           则所有可能位置的编号是      。

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    15．若正整数n使得作竖式加法：n+（n+1）+（n+2）时均不产生进位现象，则称n为“连

           绵数”，如12是连绵数，因为12+13+14不产生进位现象，但13不是连绵数，那么小于

           1000的连绵数的个数为          （用数字回答）；

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    16．给出下列五个命题：

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           ① 不等式x2-4ax+3a2＜0的解集为{x|a＜x＜3a；

           ② 若函数y=f（x+1）为偶函数，则y=f（x）的图像关于x=1对称；

           ③ 若不等式|x-4|+|x-3|≤a的解集不为空集，则有a≥1；

           ④ 函数y=f（x）的图像与直线x=a至多有一个交点；

           ⑤若角α，β满足cosα?cosβ=1，则sin（α+β）=0。

           其中错误命题的序号是            。

     

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    三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

    17．（本题12分）

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           已知函数的图象按向量平移得到函数

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           的图象。

       （1）求实数a，b的值；

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    （2）设函数，求函数的单调增区间。

     

     

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    18．（本题12分）

       （理）现有A、B、C、D四个城市，它们各有一个著名的旅游景点，依次记为a、b、c、

    20090422

           条线把左、右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分

       （1）求该爱好者得分的分布列；

       （2）求所得分的数学期望

       （文）现有A、B、C、D、E共5个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的4个红球和

           2个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出3个球，规定：若摸出的3个球恰为2个红球

           和1个黑球，则称为最佳摸球组合。

       （1）求从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合的概率；

       （2）现从每个口袋中摸出3个球，求恰有3个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率。

     

     

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    19．（本题12分）

           如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是

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           AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a。

       （1）求证MN∥ADD1A1；

       （2）求二面角P―AE―D的大小；

       （3）求三棱锥P―DEN的体积。

     

     

     

     

     

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    20．（本题12分）

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       （理）已知函数

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       （1）若a=-2e时，求函数的单调区间和极值；

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       （2）若函数=+在[1，4]是上减函数，求实数a的取值范围。

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       （文）已知函数=在区间[0，1]上单调递增，在区间上单调

           递减，

       （1）求a的值；

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       （2）若点A（x0，f（x0））在函数的图象上，求证：点A关于直线x=1的对称点B

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            也在函数的图象上；

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       （3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，

            若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。

     

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    21．（本题12分）

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       （理）已知正项数列{an}前n项和为Sn，且

       （1）求数列{an}的通项公式；

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       （2）若bn=2n?an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求

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       （文）已知正项数列{an}前n项和为Sn，且

       （1）求数列{an}的通项公式；

    20090422

     

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    22．（本题14分）

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           已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ

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           上，且，点M的轨迹为C。

       （1）求曲线C的方程；

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       （2）过点D（0，-2）作直线l与曲线交于A、B两点，设N是过点（0，）且平行

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    于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，

    使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在请说明理由。

     

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    一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

    1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

    10．B   11．（理）C（文）B       12．D

    二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

    13．                            14．②③                  15．47                     16．□

    三、解答题（本大题共6小题，共计76分）

    17．解：（1）依题意函数的图象按向量平移后得

                                                    ………………………2分

           即=                                                ………………………4分

           又

           比较得a=1，b=0                                                                     ………………………6分

       （2）

           =                                                              ………………………9分

          

          

           ∴的单调增区间为[，]          ……………………12分

    18．解：

       （1）设连对的个数为y，得分为x

           因为y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

          

    x

    0

    2

    4

    8

       

           于是x的分布列为

    ……9分

     

     

       （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2

           即该人得分的期望为2分。                                                     ……………………12分

       （文）

       （1）从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合即为从口袋A中摸出2个红球和一个黑球

           其概念为                                                     ……………………6分

       （2）由题意知：每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同，从5个口袋中摸球可以看成5

           次独立重复试验，故所求概率为………………………12分

    19．解法一：以D为原点，DA，DC，DD1

           所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建

           立空间直角坐标系D―xyz，则

           A（a，0，0）、B（a，2a，0）、

           C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、

           D1（0，0，a）。E、P分别是BC、A1D1

           的中点，M、N分别是AE、CD1的中点

           ∴……………………………………2分

       （1）⊥面ADD1A1

           而=0，∴⊥，又∵MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分

       （2）设面PAE的法向量为，又

           则又

           ∴=（4，1，2），又你ABCD的一个法向量为=（0，0，1）

           ∴

           所以二面角P―AE―D的大小为                        ………………………8分

       （3）设为平面DEN的法向量⊥，⊥

           又=（），=（0，a，），（，0，a）

           ∴所以面DEN的一个法向量=（4，-1，2）

           ∵P点到平面DEN的距离为

           ∴

          

           所以                                              ……………………12分

           解法二：

       （1）证明：取CD的中点为K，连接

           ∵M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点

           ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1

           ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                      ………………………4分

       （2）设F为AD的中点，∵P为A1D1的中点

           ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD

           作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂

           线定理得AE⊥PH，从而∠PHF为二面角

           P―AE―D的平面角。

           在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，

           从而FH=

           在Rt△PFH中，tan∠PHF=

           故：二面角P―AE―D的大小为arctan

       （3）

           作DQ⊥CD1，交CD1于Q，

           由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。

           在Rt△CDD1中，

           ∴  ……………………12分

    20．解：（理）

       （1）函数的定义域为（0，+）

           当a=-2e时，              ……………………2分

           当x变化时，，的变化情况如下：

    （0，）

    （，+）

    ―

    0

    ＋

    ㄋ

    极小值

    ㄊ

           由上表可知，函数的单调递减区间为（0，）

           单调递增区间为（，+）

           极小值是（）=0                                                            ……………………6分

       （2）由           ……………………7分

           又函数为[1，4]上单调减函数，

           则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。

           即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分

           又=在[1，4]上为减函数

           ∴的最小值为

           ∴                                                                            ……………………12分

      （文）（1）∵函数在[0，1]上单调递增，在区间上单调递减，

           ∴x=1时，取得极大值，

           ∴

           ∴4-12+2a=0a=4                                                                 ………………………4分

       （2）A（x0，f（x0））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2- x0，f（x0）

          

           =

           ∴A关于直线x=1的对称点B也在函数的图象上            …………………8分

       （3）函数的图象与函数的图象恰有3个交点，等价于方程

           恰有3个不等实根，

          

           ∵x=0是其中一个根，

           ∴方程有两个非零不等实根

                                           ……………………12分

    21．解：（理）（1）由已知得：

                  

           ∵                                                     ①…………………2分

           ∴                                                                 ②

           ②―①

           即

           又

           ∴                                                                      ……………………5分

           ∴{an}成等差数列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分

       （2）∵

           ∴

           ∴                   …………………8分

           两式相减

          

           ∴                                                          ……………………10分

           ∴               ……………………12分

       （文）（1）由已知得：

          

           ∴

           ∵                                                     ①…………………2分

           ∴                                                                 ②

           ②―①

           即

           又

           ∴                                                                      ……………………5分

           ∴{an}成等差数列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分

       （2）∵

           ∴

           ∴                   …………………8分

           两式相减

          

           ∴                                                          ……………………10分

           ∴               ……………………12分

     

    22．解：（1）

           设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，

           所以点P的坐标为（x，3y）                                                   …………………2分

           点P在椭圆，所以

           因此曲线C的方程是                                           …………………5分

       （2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

           所以设直线l的方程为与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），N点所在直线方

           程为

           ，由得

                                                   ……………………6分

           由△=………………8分

           ∵,所以四边形OANB为平行四边形               …………………9分

           假设存在矩形OANB，则

          

           所以

           即                                                                   ……………………11分

           设N（），由，得

           ，

           即N点在直线

           所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为 ……………………14分


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