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    南昌市2008-2009学年度高三测试卷数学（4）

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

    1．(理)若集合，则（    ）.

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    A．       B.     C.       D.

    （文）设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，3}，则A∩B等于（    ）.

    A．{1}　　　B．　　　　C．或{1}　　　　D．或{3}

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    2.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（     ）.

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     A.        B.   C.    D.

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    3．在等比数列{an}中，a5、a4、a6成等差数列，则公比q等于       （    ）

           A．1或2                 B．－1或－2           C．1或－2               D．－1或2

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    4．实数满足则的值为（    ）.

          A．6                   B．6或-6           C．10         D．不确定

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    5.已知正方体ABCD―A1B1C1D1中，点M、N分别是在AB1、BC1上，且AM=BN，下列四个结论：

    ①AA1⊥MN；②A1C1//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC为异面直线，其中正确的结论为（  ）

         A．1个                     B．2个                    C．3个                    D．4个

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    6．若多项式，则的值为（    ）

    A. －2009　  　 B.　 2009　   　C. －2008　   　D. 2008

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    7．在100，101，102，…，999这些数中各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如 “321”）顺序排列的数的个数是（     ）.

    ?  A．120                 B．168                        C．204                        D．2163

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    8．(理)对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做 的上确界，若a，b为正实数，且，则的上确界为（    ）.

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    A．            B．         C．           D．-4

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    （文）设为坐标原点，已知点点满足,则的最大值为（　　）.

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         　　　   　　　       　　  不存在

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    9. (理)如果随机变量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=4,则P（-1＜ξ≤1 )等于（    ）.

    A.2Φ(1)-1         B.Φ(2)-Φ(1)           C.Φ(1)-Φ(2)          D.Φ(-2)-Φ(-1)

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    （文）设.在右图所示的正方形内(包括边界),整点(即横、纵坐标均为

    整数的点)的个数是（   ）

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    10．（理）已知向量a=(1,1), b=(1,0), c满足a? c=0且|a|=|c|, b?c>0，若映射

    f:(x,y)→(x′,y′) =xa+yc，则在映射f下，向量(cosθ,sinθ)（其中θ∈R）的原象的模为（     ）.

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    A.              B. 1           C.                       D.

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    （文）若，则的最大值是（    ）

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    （A）            （B）                 （C）                  （D）

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    11．函数的图象大致是                                                                 （     ）

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    A．              B．             C．                D．

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    12.（理）函数满足：对一切

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    时，则（     ）

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    A．           B．         C．    D．  

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    （文）已知偶函数，则方程

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       的解的个数为                                                                            （     ）

           A．6                        B．7                        C．12                      D．14

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    二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。）

    13．（理）设a、b∈R,n∈N*且a+2i=,则=_______.

     (文) 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:

    x

    －3

    －2

    －1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    －80

    －24

    0

    4

    0

    0

    16

    60

    144

    296

    则函数y=lgf(x)的定义域为___________.

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    14．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为      万只．

    月份

    养鸡场（个数）

    9

    20

    10

    50

    11

    100

     

     

     

     

     

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    15.已知正四面体S―ABC中，点E为SA的中点，点F为△ABC的中心，则异面直线EF、AB所

    成的角为      .

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    16．（理）已知m、n、s、t为正实数，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值为，满足条件的点(m，n)是椭圆＋＝1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为             .

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     (文)已知椭圆的右焦点为，过作与轴垂直的直线与椭圆相交于点，过点的椭圆的切线与轴相交于点，则点的坐标为         .

     

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    三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

    17、（本题满分12分）

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    已知，将的图象向左平移，再向上平移2个单位

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    后图象关于对称.

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    （I）求实数a,并求出取得最大值时x的集合；

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    （II） 求的最小正周期，并求在[上的值域.

     

     

     

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    18．（本小题满分12分）

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    数列｛｝的前ｎ项和为，若＝.

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    （I）若数列｛+c｝成等比数列，求常数c的值；

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    （II）求数列｛｝的通项公式；

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    （Ⅲ）数列｛｝中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在, 请说明理由．

     

     

     

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    19.（本小题满分12分）

    （理）甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从甲、乙两袋中各取出2个球。

    （I）求取得的4个球均是白球的概率；

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    （II）求取得白球个数的数学期望。

    (文) 美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底”(在低位处买入)。若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。

    （I）求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率；

    （II）求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率；

     

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    20．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

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     （I）证明:PA⊥平面ABCD；

     （II）求二面角E-AC-D的大小；

     （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？

    证明你的结论.

     

     

     

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    21. （本小题满分12分）F1、F2是双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，点M在右准线上，且满足：。

       （I）求此双曲线的离心率；

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       （II）若此双曲线过N（2，），求双曲线方程；

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       （Ⅲ）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B1，B2（B1在y轴正半轴），点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。

     

     

     

     

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    22．（本题满分14分）

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    （理科）已知函数.

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    （I）的根，β是方程xex =2009的根，求αβ的值。                                                                       

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    （II）求证：在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方；

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    （Ⅲ）设函数，求证：≥．                

    （文科）已知函数f(x)＝4x3－3x2cosθ＋，其中x∈R，θ是参数，且0≤θ≤．

    （I）当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；

    （II）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

    （Ⅲ）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    C

    B

    C

    A

    B

    A

    C

    B 

    B

    理D 文B

    D

    理D 文C

    二．填空题

    13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

    15. ；                                     16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

    三．解答题

    17.  解：（I）平移以后得

    ，又关于对称

    , *，

    当且仅当时取最大值，

    所以，取得最大值时的集合为.…………6分

    （II）的最小正周期为； ，

    ，在[上的值域为.…………12分

    18．解：（I）当ｎ∈Ｎ时有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

    两式相减得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３。　……３分

    ∴＋３＝２（＋３）。

    又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

    ∴数列｛＋３｝是首项6，公比为2的等比数列．从而ｃ＝３．　　……６分

     （II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

    （Ⅲ）假设数列｛｝中是否存在三项,,,(r<s<t),它们可以构成等差数列,

    ∵<<,   ∴只能是＋＝２,

    ∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

    即＋＝．∴１＋＝．　

    　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均为正整数，∴式左边为奇数右边为偶数，不可能成立．

    因此数列｛｝中不存在可以构成等差数列的三项．　　………12分

    19. （理）解：设从甲袋中取出个白球的事件为，从乙袋中取出个白球的事件为其中＝0，1，2，则，.

    （I）,,

    所以………………………..6分

    （II）分布列是

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    ……………12分

    (文) 19．（I）三人恰好买到同一只股票的概率。  ……4分

    （II）解法一：三人中恰好有两个买到同一只股票的概率.……9分

    由（I）知，三人恰好买到同一只股票的概率为，所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率。  ……12分

     

    20.证明：（I）因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

    所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

    由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

    同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

    文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

    由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

    作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的

    平面角，设为.

    又PE : ED=2 : 1，所以

    从而    ……………7分

    解法二:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、

    z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

    所以 设二面角E-AC-D的平面角为，并设平面EAC的一个法向量是

    得

    平面ACD的一个法向量取，……………7分

    （Ⅲ）解法一:设点F是棱PC上的点，如上述方法建立坐标系.

    则

           令  , 得

    解得      即 时，

    亦即，F是PC的中点时，、、共面.

    又  BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC…………12分

    (证法一) 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.  ①

    由   知E是MD的中点.

    连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

    所以  BM//OE.  ②

    由①、②知，平面BFM//平面AEC.

    又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

    (证法二)因为 

             

    所以  、、共面.又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC. ……12分

     

    21．解：（I）

    由，又 ，

     ，

                                     …… 4分

    （II）

    ，其过点 

                                         …… 7分

    （Ⅲ）由（2）知、，

    、、  

    得 

    ①当。

    ②当时，

    又、 

    即

    所以直线AB的方程为                       …… 12分

    22．（理科）（Ⅰ）由已知条件代入，数形结合易知y=lnx与y=的交点为A（α，），y=ex与y=的交点为B（β，）；由KAB= ―1，易知αβ=2009           …………4分

    （Ⅱ）设=，则

    ∵ ， ∴ 在区间（1，）上是减函数    又∵

    ∴ ，即，

    ∴在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方         …9分

    （Ⅲ）当时，左边=，右边=，不等式成立；

    当时，

                 =

    由已知，  ∴ ≥

    ∴ ≥．                  ………………………………14分

    （文科）解：（Ⅰ）当cosθ＝0时，函数f(x)＝4x3＋在R上递增，故无极值. …3分

    （Ⅱ）函数f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

    由于0≤θ≤及（1）结论，f极小(x)＝f(cosθ)＝－cos3θ＋＞0，

    ∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范围是(，)。…7分

    （Ⅲ）f(x)在区间(2a－1，a)是增函数，则或，

    由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

    即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

    ∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[，1) …14分


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