1．已知                                                              （    ）

       A．                    B．                 C．                    D．

2．圆锥曲线                                                                （    ）

       A．     B．       C．      D．

3．设函数                      （    ）

       A．（－1，1）                                         B．（－1，+）

       C．                            D．

4．函数的最大值为                                                         （    ）

       A．              B．               C．                    D．2

5．已知圆的弦长为时，则a=                                                                           （    ）

       A．                   B．              C．               D．

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（    ）

       A．                B．                C．                D．

7．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则

                                                                                                             （    ）

       A．1                        B．                      C．                      D．

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是                                          （    ）

       A．                                     B．     

       C．                                     D．

9．函数                                             （    ）

       A．                         B．

       C．                   D．

10．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄（入射解等于反射角），设P₄坐标为（的取值范围是                                                                   （    ）

       A．                 B．               C．               D．

11．                                                                   （    ）

       A．3                        B．                      C．                      D．6

12．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （    ）

       A．3                    B．4                    C．3                D．6

13．展开式中的系数是              .

15．如图，一个地区分为5个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得

使用同一颜色，现有4种颜色可

供选择，则不同的着色方法共有

               种.（以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是             .（写出所有符合要求的图形序号）

17．（本小题满分12分）

       已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.

18．(本小题满分12分)

       如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

       （Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

       （Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离.

19．（本小题满分12分）

已知  设

P：函数在R上单调递减.

Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.

20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分14分）

22．（本小题满分12分，附加题4分）

       （Ⅰ）设中所有的数从小到大排列成的数列，

         即

        将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

                         3

                   5          6

                9       10        12

―     ―     ―      ―

          ―     ―    ―     ―      ―

       （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；   （i i）求.

       （Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知

绝密★启用前

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数      学(理工农医类)答案

1．D  2．C  3．D  4．A  5．C  6．B  7．C  8．D  9．D  10．C  11．B  12．A

13．    14．（-1，0）       15．72       16．①④⑤

17． 解：设，则复数由题设

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．

解：函数在R上单调递减

不等式

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

         在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为

         此时台风侵袭的区域是

         其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

         即

         答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程

整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

    当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值。

当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

  （Ⅰ）解：（i）第四行17  18  20  24    第五行 33  34  36  40  48

   （i i）解：设，只须确定正整数 

数列中小于的项构成的子集为 

其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取

因为100－

（Ⅱ）解：令

         因

        现在求M的元素个数：

其元素个数为：   

某元素个数为

某元素个数为