宜春市2006年高考摸拟考试
数学（文科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．在等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是
A．2 B．－2 C．3 D．－3
2．直线
＋y－2
＝0截圆x2+y2=4所得的劣弧所对的圆心角为
A．
B．
C．
D．
3．不等式｜x－a｜<1成立的充分不必要条件是
<x<
，则实数a的取值范围是
A．<a< B．≤a≤ C．a>或a< D．a≥或a≤
4．当f（x）＝3sinx＋4cosx取最大值时，tanx的值是
A．
B．
C．
D．－
5．椭圆
＝1的长轴为A
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍中至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有
A．252种 B．112种 C．70种 D．56种
7．已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝1}，映射f：A→B，在f作用下点(x，y)的象是（2x，2y），象的集合恰是B，则集合B是
A．{（x，y）｜x＋y＝2，} B．{（x，y）｜xy＝1，x>0，y>0}
C．{（x，y）｜xy＝2，x<0，y<0} D．{（x，y）｜xy＝2，x>0，y>0}
8．在半径为，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为
A．
9．设O为△ABC所在平面内一点，若（
＋
）?
＝（＋
）?
＝（＋）?
，则O为△ABC的
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
10．若在二项式（x＋3）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为
A．
B．
C．
D．
11．已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f－1（x），若y＝f（x－1）的反函数恰好为y=f -1（x－1），则下列结论正确的是
A．f（x）＝f（x－1） B．f（x）＝－f（x－1）
C．f（x）－f（x－1）＝1 D．f（x）－f（x－1）＝－1
12．规定：2阶行列式
＝a1b2－a2b1，3阶行列式
＝a1
－a2
+a3
，且已知
＝3，则
的值为
A．3 B．
C.6 D.24
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填在题中横线上.)
13.方程
=1表示焦点在y轴且离心率为
的椭圆，则m=______.
14.已知实数x，y满足
时，(x-3)2+(y-2)2有最大值M，最小值m,则M+m=_____.
15.关于x的函数y=logm2[(m2
16.如果函数f(x)的定义域为R，对于m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)-6,且f(-1)是不大于5的正整数，当x>-1时，f(x)>0,那么具有这些性质的函数f(x)=_____.(注：填上你认为正确的一个函数即可，不必考虑所有可能的情形).
三、解答题(本大题共6小题，共74分。17-21题每题12分，22题14分。解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
(1)求角B的大小；
(2)若b=
,a+c=4，求△ABC的面积.
18.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
(an+1)2，且an>0
(1)求{an}的通项公式；
(2)令Cn=
,求数列{Cn}的前n项的和Tn.
19.从1至20这20个正整数中取出三个不同的数，求
(1)取得的三数之和是3的倍数的概率；
(2)取得的三数之积是4倍的概率。
20.已知直三棱柱ABC-A1B
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求二面角B1-AF-B的大小；
(3)求三棱锥F-B1AE的体积.
21.已知函数f(x) = -x3+ax2+b的图象上任意两点连线的斜率都小于1.
(1)判断函数g(x)=f(x)-x的单调性，并加以证明；
(2)求实数a的取值范围.
22.设x、y∈R,
是直角坐标平面内x、y轴正方向的单位向量，若
,
,且
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设
是否存在这样的直线l，使
？若存在，求出l的方程；若不存在，试说明理由.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
C
B
D
C
B
C
D
C
二、填空题
13.
14.
15.1<m<2 16.2x+6
三、解答题
17.(1)将正弦定量代入条件得：
…………2分
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin(B+C)=0
由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0 …………4分
又sinA>0,∴cosB=-
,又0<B<π，∴B=
…………6分
(2)由余弦定理有：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac将b=
,a+c=4代入得ac=3
…………10分
∴S△ABC=
…………12分
18.(1)由Sn=
(an+1)2,且an>0,得a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2
(an-1)2-(an-1+1)2=0, (an+an-1)(an-an-1-2)=0
∴an-an-1-2=0, 即an-an-1=2, ∴{an}是公差为2的等数列
∴an=2n-1 …………6分
(2)Cn=
Tn=
∴
∴Tn=1+1
…………12分
19.(1)20个数中有3的倍数6个，除以3余1的7个，余2的7个 …………2分
P1=
…………6分
(2)20个奇数有10个偶数有10个，其中5个是4的倍数。 …………8分
∴P2=1
…………12分
20.(1)连结A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连BP由E为C
∵D、E分别是A1B、A1P的中点，
∴DE∥BP
又BP
面ABC，DE
面ABC
∴DE∥平面ABC …………4分
(2)∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点
∴BC⊥AF
∵BB1⊥平面ABC，∴B
∴∠B1FB为二面角B1-AF-B的平面角
在Rt△B1BF中，∠B1BF=90°，B1B=a,BF=
∴tan∠B1FB=
∴∠B1FB=arctan
…………8分
即二面β1-AF-B的大小为arctan
(3)∵B
∴B
由AF⊥BC，有AF⊥平面B1BCC1，即AF⊥平面B1EF
∴VF-B1AE=VA-B1EF=
…………12分
(注：用向量解法可参照给分)
21.证：(1)设f(x)上任意两点，A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))不妨令x1>x2
∵
∴f(x1)-f(x2)<x1-x2
即f(x1)-x1<f(x2-x2)令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x+b
∵当x1>x2时g(x1)<g(x2)
∵g(x)单调递减 ……………6分
(2)∴g(x)单调递减∴g′(x)≤0恒成立
∴-3x2+2ax-1≤0恒成立
∴△=
∴-
≤a≤ ……………12分
22.(1)∵
=(x,y+2) 
=(x,y-2)
||+||=8,∴
=8
由椭圆定义知，M点轨迹是以(0，2)和(0，-2)为焦点的椭圆
∴
……………6分
(2)∵l的斜率一定存在，设l：y=kx+3
(3k2+4)x2+18kx-21=0 ……………8分
设A(x1，y1),B(x2,y2)
∵
∴OAPB为平行四边形
又∵
即OAPB为矩形 ∴
∴x1x2+y1y2=0
∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0
∴-(1+k2)?
∴k2=
∴k=±
经检验k=±合题意.
∴存在直线l：y=±x+3 …………14分
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