1.一个袋中有5个白球和3个红球,从中任取3个,则随机变量为………………(  )

A.所取球的个数                B.其中所含白球的个数

C.所取白球和红球的总数        D.袋中球的总数

解析 根据离散型随机变量的定义,可知B中的试验结果ξ可能取得的值是一个变量,并可以按一定次序一一列出.而A、C、D中的试验结果是一常量,不符合随机变量的定义.

答案 B

2.下面表可以作为离散型随机变量的分布列. ……………………………(  )

ξ₁

-1

0

1

P

ξ₃

0

1

2

P

-

A.                                                       B.

ξ₃

0

1

2

P

ξ₄

1

2

1

P

    C.                                                                                              D.

分析 本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…；

(2)P₁+P₂+…=1.

解 对于B,由于P(0)=-＜0,不符合离散型随机变量概率分布的性质(1)；

对于C,由于P(0)+ P(1)+P(2)= ++=＞1,不符合离散型随机变量的性质(2)；

对于D,随机变量ξ₄的取值x₁=x₃=1,不符合随机变量的意义；

只有A完全符合离散型随机变量的要求.

答案 A

3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

ξ

4

5

6

7

8

9

10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

如果命中8~10环为优秀,那么他射击一次为优秀的概率是…………………………(　　)

A.0.29　　            B.0.57                C.0.79                   D.0.51

分析 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

解 根据射手射击所得环数的分布列,有

P(ξ=8)=0.28,P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22,

所求概率为P(ξ≥8)=0.28+0.29+0.22=0.79.

ξ

-1

0

1

P

答案 C

4.已知ξ的分布列为

且设η=2ξ+1,则η的数学期望Eη的值是………………………………(  )

A.               B.                  C.1                     D.

分析 本题考查期望的计算公式,E(aξ+b)=aEξ+b.

解 因为Eξ=-1×+0×+1×=,

所以Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×()+1=.

答案 B

5.设某批电子管正品率为,次品率为,现对这批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)等于……………………………………………………(  )

A.()²×                          B.()²×

C.()²×                          D.()²×

分析 本题考查离散型随机变量的几何分布.

解 根据相互独立事件的概率计算公式,有P(ξ=3)= ××=()²×.

答案 B

6.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为………………………………(  )

A.                    B.()³×

C. ×                     D.×()³×

分析 本题中,每次随机取出一个球是等可能性事件,取出的是黑球或白球应用的是等可能性事件的概率公式.由于放回取球使得各次取球之间取得黑球或白球的概率互不影响,因而各次取球才构成相互独立事件,才可以利用相互独立事件同时发生的概率计算公式.

解 由题意,第4次取球后停止的事件应是前3次取出的均是黑球,第4次取出的是白球.因为取出黑球后要放回箱中重新取球,故前3次每次取出黑球的概率都是=.第4次取出白球的概率是=,4次取球是相互独立事件,彼此概率不受影响,利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得“在第4次取球之后停止的概率”为×××=()³×().

答案 B

7.若ξ~B(5,0.1),那么P(ξ≤2)等于………………………………(  )

A.0.072 9                                        B.0.008 56

C.0.918 54                                D.0.991 44

分析 本题考查二项分布中互斥事件和的概率.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

解 P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)

=?(0.1)^k?(0.9)^5-k

=(0.9)⁵+5?(0.1)?(0.9)⁴+?(0.1)²?(0.9)³

=0.590 49+0.328 05+0.072 9=0.991 44.

答案 D

8.★随机变量ξ的分布规律为P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(＜ξ＜)的值为………………………………………………(  )

A.              B.             C.            D.

分析 本题考查离散型随机变量分布列的性质及互斥事件和的概率计算.

解 由题意可知

,可得a=.

P(＜ξ＜)=P(ξ=1)+P(ξ=2)= ==×=.

答案 D

9.设ξ~B(n,p)且Eξ=15,Dξ=,则n、p的值分别是……………………(  )

A.50,              B.60,              C.50,             D.60,

分析 本题考查二项分布的期望与方差.

解 由题意,得   解得

答案 B

10.一射手对靶射击,直到第一次击中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后尚余子弹数目ξ的数学期望为……………………………………(  )

A.2.44               B.2.386              C.2.376               D.2.4

分析 本题主要考查离散型随机变量分布列以及数学期望的求法.解答本题要注意不要忽略ξ=0的情况.“ξ=0”的含义说明前3次一定没有命中,但第4次有可能命中,也有可能没有命中.

解

ξ

0

1

2

3

P

0.4³

0.4²×0.6

0.4×0.6

0.6

∴Eξ=0×0.4³+1×0.4²×0.6+2×0.4×0.6+3×0.6=2.376.

答案 C

第Ⅱ卷(非选择题 共60分)

11.若离散型随机变量ξ的分布列为

ξ

0

1

P

9c²-c

3-8c

 则常数c的值为                .

分析  考查离散型随机变量分布列的两个性质.

由0≤P(ξ=0)≤1,0≤P(ξ=1)≤1及P(ξ=0)+P(ξ=1)=1,即可求出c的值.

解 由离散型随机变量分布列的性质,知

9c²-c+3-8c=1且0≤9c²-c≤1,0≤3-8c≤1,

解得常数c=.

答案

12.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为:

ξ

0

1

2

分析 本题考查离散型随机变量的分布列及等可能事件的概率计算问题.

解 由等可能事件的概率计算公式可知:

P(ξ=0)= =,

P(ξ=1)= =，

P(ξ=2)= =.

答案

ξ

0

1

2

P

13.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:

①他第3次击中目标的概率是0.9;

②他恰好击中目标3次的概率是0.9³×0.1;

③他至少击中目标1次的概率是1-0.1⁴.

其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).

分析 本题主要考查相互独立事件的概率等基础知识.解题的关键是正确使用相互独立事件的概率公式.

解 ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第3次击中目标的概率是0.9.正确.

②恰好3次击中目标的概率应为×0.9³×0.1.

③4次射击都未击中目标的概率为0.1⁴,所以至少击中1次目标的概率为1-0.1⁴.

答案 ①③

14.★设ξ是离散型随机变量,P(ξ=x₁)= ,P(ξ=x₂)=,且x₁＜x₂,又已知Eξ=,Dξ=,则x₁+x₂的值为                    .

解析 由题意可知

解得       x₁+x₂=1+2=3.

答案 3

15.(本小题满分8分)有甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:

甲单位不同职位月工资x₁/元

1 200

1 400

1 600

1 800

获得相应职位的概率P₁

0.4

0.3

0.2

0.1

乙单位不同职位月工资x₂/元

1 000

1 400

1 600

2 200

获得相应职位的概率P₂

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解 根据月工资的分布列,计算得

Ex₁=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,

Dx₁=(1 200-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 600-1 400)²×0.2+(1 800-1 400)²×0.1=40 000; 3分

Ex₂=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400,

Dx₂=(1 000-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 800-1 400)²×0.2+(2 200-1 400)²×0.1=112 000.                         6分

因为Ex₁=Ex₂,Dx₁＜Dx₂,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.        8分

16.(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望;

(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.

分析 本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用统计知识解决实际问题的能力.求解的关键是搞清随机变量ξ的可能取值,即所得分数.其中,答对0道题得-300分,答对1道题得100-200=-100分,答对2道题得2×100-100=100分,答对3道题得300分.

总分不为负共包括:总分为100分,总分为300分两种情况.

解 (1)ξ的可能取值为-300,-100,100,300.       2分

P(ξ=-300)=0.2³=0.008,

P(ξ=-100)=3×0.2²×0.8=0.096,

P(ξ=100)=3×0.2×0.8²=0.384,

P(ξ=300)=0.8³=0.512.

所以ξ的概率分布为

ξ

-300

-100

100

300

P

0.008

0.096

0.384

0.512

5分

Eξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.                    7分

(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)=0.384+0.512=0.896.                 8分

17.★(本小题满分8分)某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次得到的环数这个随机变量为x,求x的分布列.

解 由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的位置和形状无关.                                          2分

由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域,9环区域,10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环,9环,10环的概率可分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质(2)有0.1+5k+3k+k=1,                                 6分

解得k=0.1.得到离散型随机变量x的分布列为

X

0

8

9

10

P

0.1

0.5

0.3

0.1

8分

18.(本小题满分10分)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件.

(1)写出其中次品数ξ的分布列；

(2)求P(ξ≥1).

分析 本题考查二项分布的概率分布公式和某些简单的离散型随机变量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率.这是n次独立重复试验,出现次品数ξ服从二项分布,由概率公式P(ξ=k)= p^kq^n-k(0＜p＜1,p+q=1且k=0,1,2,…,n)就可求出ξ的分布列,从而求出P(ξ≥1).

解 依题意,随机变量ξ~B(2,5%).       3分

P(ξ=0)=(95%)²=0.902 5,          4分

P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095,        5分

P(ξ=2)=(5%)²=0.002 5.           6分

因此,

(1)次品数ξ的分布列是

ξ

0

1

2

P

0.902 5

0.095

0.002 5

8分

(2)P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.095+0.002 5=0.097 5.                            10分

19.★(本小题满分10分)西安市一中高二年级研究性学习组在网上查到某种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习组分成三个小组开展了验证性试验(每次均种下一粒种子).

(1)求第一小组种下的前2粒种子未发芽,第3粒种子发芽的概率;

(2)第二小组做了若干次发芽试验,如果在试验中种子发芽成功就终止试验,否则就将继续进行试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次,求试验次数ξ的分布列和期望.

分析 本题考查相互独立事件同时发生的概率,离散型随机变量的分布列,数学期望等概念,以及运用概率统计知识解决实际问题的能力.

解 (1)∵前2粒未发芽,第3粒才发芽,

∴P=(1-)×(1-)×=.        2分

(2)发芽试验次数ξ取1~5的整数,种子发芽成功的概率为,不成功的概率为,则前k-1次发芽不成功而第k次发芽成功的概率为

P(ξ=k)=()^k-1?(k=1,2,3,4).     5分

进行第5次发芽试验前4次不成功的概率为

P(ξ=5)=()⁴.                  7分

由此可得ξ的概率分布为

ξ

1

2

3

4

5

P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=.        10分