广东省2009届高三数学一模试题分类汇编――选做题
珠海市第四中学 邱金龙
(一)（2009广州一模）
13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+
)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 ．
14. (几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，
PO交圆O于B，C两点，AC =
，∠PAB=300，则线段PB的长为 .
15. (不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+
则a的取值范围为_____________
13.
；
(二)（（2009广东三校一模）
13.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为
和
的两个圆的圆心距为____________；
14.(不等式选讲选做题)若不等式
对一切非零实数
均成立,则实数
的最大值是__________________；
15.(几何证明选讲选做题)如图,
切圆
于点
,
交圆于
、
两点，且与直径
交于点
，
，则
______.
13.
;
14.
;
15.
.
(三)（（2009东莞一模）
13．（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙的切线，AC是
⊙的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙相
交于点E，AE平分
，且
，则
，
， 
.
14．(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点
到直
线
的距离为
．
15. （不等式选讲选做题）函数
的最
大值为 .
13.
；
14.
；
15.3
(四)（（2009番禺一模）
13.在直角坐标系中圆
的参数方程为
（
为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为______ __．
14.若不等式
对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_________________．
15.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的大小为
．
13. 
14. 
, 15. 
(五)（（2009江门一模）
⒔（坐标系与参数方程选做题）
是曲线
（
是参数）上一点，到点
距离的最小值是
．
⒕（不等式选讲选做题）已知关于的不等式
（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是 ．
⒖（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形
中，
，⊙经过点，与
相切于，与
相交于，若
，则⊙的半径
．
⒔
⒕
⒖
(六)（（2009茂名一模）
13.（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程
化为直角坐标方程是
．
14.（不等式选讲选做题）函数
的最大值为_________________。
15．（几何证明选讲选做题）如图，梯形
，
，
是对角线
和
的交点，
，
则
．
13、
；14、1：6 ; 15、
(七)（（2009汕头一模）
13．（坐标系与参数方程选做题）两直线
的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行或斜交)
14、（不等式选讲选做题）不等式
对于一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP＝8, PB＝6, PD＝4, MC＝6，则MN的长为＿＿＿
13、垂直； 14、4＜a＜6
15．2
。
(八)（（2009韶关一模）
13.在极坐标系中，圆心在
且过极点的圆的方程为______________.
14. 如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线
，则点A到直线的距离AD为 .
15. 如果关于的不等式
的解集是全体实数，则的取值范围是
.
13.
14. 
,15. 
(九)（（2009深圳一模）
13．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
在极坐标系中的方程为
．若曲线与有两个不同的交点，则实数
的取值范围是 ．
14．（几何证明选讲选做题）如图，切⊙于点，交⊙于、两点，且与直径交于点，
，
，
，则
．
15．（不等式选讲选做题）若不等式
，对满足
的一切实数、
、
恒成立，则实数的取值范围是
．
13．
．
14． ．
15．
．
(十)（（2009湛江一模）
13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点
且与极轴垂直的直线交曲线
于A、B两点，则
_________ _．
14.（不等式选讲选做题）设
，则
的最小值为________．
15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是
圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与
A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB
= ．
13. 
. 14. 
. 15. 
.
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广东省2009届高三数学一模试题分类汇编――概率文
珠海市第四中学 邱金龙
1、（2009广州一模）某校高三年级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加学校的演讲比赛.
(1)求男生a被选中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被选中的概率.
解：从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表选法是：
a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；
b，c，e；b，d，e；c，d，e共10种. ……4分
(1)男生a被选中的选法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6种，于是男生a被选中的概率为
. ……8分
(2) 男生a和女生d至少一人被选中的选法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9种，
故男生a和女生d至少一人被选中的概率为
.
……12分
2
（2009广东三校一模）甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字
），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为
、
，那么
（I）共有多少种不同的结果？
（II）请列出满足复数
的实部大于虚部的所有结果。www.ks5u.com
（III）满足复数的实部大于虚部的概率是多少？
解: （I） 共有
种结果?????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（II） 若用
来表示两枚骰子向上的点数，满足复数的实部大于虚部结果有：
，（3，1），（4，1）（5，1），（6，1）（3，2），（4，2）（5，2），（6，2）（4，3），
（5，3）（6，3），（5，4）（6，4），（6，5）共15种．??????????????????????????????????????? 8分
（III）满足复数的实部大于虚部的概率是：P＝
12分
3、（2009番禺一模）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了
日 期
温差
（°C）
10
11
13
12
8
发芽数
（颗）
23
25
30
26
16
（1）从
，求事件“
”的概率.
（2）甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为
与
，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”，判断哪条直线拟合程度更好.
解：（1）的取值情况有
，
,
.基本事件总数为10.
……3分
设“”为事件
，则事件包含的基本事件为
……5分
所以
，故事件“”的概率为
.
……7分
（2）将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：
10
11
13
12
8
23
25
30
26
16
22
24.2
28.6
26.4
17.6
22
24.5
29.5
27
17
用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为
………9分
用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为
………11分
由于
，故用直线的拟合效果好.
………12分
4、（2009茂名一模）已知集合
在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标
。
（1）请列出点M的所有坐标；
（2）求点M不在x轴上的概率；
（3）求点M正好落在区域
上的概率。
解：
（1）
集合A＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标，
点M的坐标共有：
个，分别是：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；
（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）…………………….4分
（2）点M不在x轴上的坐标共有12种：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；
（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）
所以点M不在x轴上的概率是
………………………………………..8分
（3）点M正好落在区域上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）
故M正好落在该区域上的概率为
…………………………………………………12分
5、（2009汕头一模）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B, C,田忌的三匹马分别为a, b, c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜。若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c 。
（1)如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马。那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？
解：记A与a比赛为（A，a），其它同理．
（l）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；
（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）：
（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）
其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b）
故田忌获胜的概率为
（2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，
则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败。
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c。。。。。。。。。。。8分
后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、
（C，a）。
田忌获胜的概率为
。。。。。。。。。。。10分
②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：
（C，a）、（B，b）或（C，b）、．（B，a）．
田忌获胜的概率也为．所以，
田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大。。。。12分
6、（2009韶关一模）现从3道选择题和2道填空题中任选2题.
（Ⅰ）求选出的2题都是选择题的概率；
（Ⅱ）求选出的两题中至少1题是选择题的概率.
解（Ⅰ）记“选出两道都是选择题”为A，5题任选2题，共有
种，
其中，都是选择题有3种．……………………………………2分
∴ ．…………………………………………4分
（Ⅱ）．记“选出1道选择题，1道填空题”为B,
∴ 
……………………………10分
所以，至少有1道选择题的概率 
……………12分
7、（2009深圳一模）先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第
枚骰子出现的点数，表示第
枚骰子出现的点数．
（Ⅰ）求点
在直线
上的概率；
（Ⅱ）求点满足
的概率．
解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有
种情况，
所以基本事件总数为个. …………………… 2分
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
，
…………………… 5分
…………………… 6分
（Ⅱ）记“点满足”为事件
，则事件有
个基本事件:
当
时，
当
时，
；
…………………… 7分
当
时，
；当
时，
…………………… 9分
当
时，
；当
时，． …………………… 11分
…………………… 12分
8、（2009湛江一模）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？
解：（Ⅰ）用
（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共16个；
------------------------------------------------------3分
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6个；则
------------------------------5分
------------------------------6分
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4个；则
-------------------------8分
----------------------10分
，所以这样规定不公平.
-----------------11分
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为
;（Ⅱ）这样规定不公平.
-----------------------12分
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