1．下面说法正确的是 （ ）
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值
（文）要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户
低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体
育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是 （ ）
A．①用随机抽样法 ②用系统抽样法 B．①用分层抽样法 ②用随机抽样法
C．①用系统抽样法 ②用分层抽样法 D．①、②都用分层抽样法
2．同时抛掷4枚均匀的硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 （ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
3．书架上有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本.从这个书架上任意
抽取两本书，这两本书不是同一种文字的概率是
4．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
先计算白球减少的概率，从甲袋中取出白球概率为
，再从乙袋中取出黑球概率为
所求概率为1-
5．袋中有一些大小相同的小球，其中号数为1的小球1个，号数为2的小球2个，号数为3的小球3个，……，号数为n的小球n个，从袋中取一球，其号数记为随机变量ξ，则ξ的数学期望Eξ= . 
6．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 （ ）
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定
5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是 （ ）
A．0.6 B．
C．
D．
6．抛掷两个骰子，当至少有一个的点数的3的倍数时，就说这次试验成功，设在50次试验中成功的次数为
，则E=
，D=
（精确到0.01）27.78,12.35
1．（维坊3月）甲、乙两人投篮，命中率分别为0.4和0.6，每人各投两次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投进两球；
（Ⅱ）两人至少投进三个球.
1．P（甲投进两球）=
，……………………………2分
P（乙投进两球）=
………………………………………………4分
P（两人都投进两球）=
………………………………………6分
（Ⅱ）P（甲投进一球）=
P（乙投进一球）=……………………………………………8分
P（甲投进两球乙投进一球）=
P（甲投进一球乙投进两球）=
∴P（两人至少投进三个球）=
……………11分
答：两人都投进两球的概率是0.0576，两人至少投进3个球的概率是0.3072.…12分
2．（开封一）已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。
2．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，
根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法 ……3分
（Ⅰ）指定的4个房间各有1人，有
种方法，
……6分
（Ⅱ）从6间中选出4间有
种方法，4个人每人去1间有种方法，
……9分
（Ⅲ）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有
种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。
……12分
3．（大港）如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系统N正常工作的概率.
3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=
，它不正常工作的概率
（2分）=
（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A?B?C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作两种情况，前者概率
，（7分）后者的概率为
（10分）
，
所以系统N正常工作的概率是
4．（山西实验）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为
和
，求：
①恰有一个人译出密码的概率；
②至多一个人译出密码的概率；
解：①
……5分 ②
……10分
5．（山西实验）设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数学）
①取得白球3次的概率；
②至少有1次取得白球的概率
解：记“取球一次得白球”为事件A，“取球一次得黑球”为事件B.
①
…6分
②
6．（山西实验）为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平，在罚球线上让他们各投篮10次，甲投中7次，乙投中6次，如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次，求：
①甲运动员恰好投中2次的概率是什么？
②两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？（结果保留两个有效数学）
解：设事件A：甲运动员投篮1次，投中 . 事件B：乙运动员投篮1次，投中 .
∴P(A)=0.7 , P(B)=0.6 ①
…………6分
②
…
7．（南京）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
7．Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，
摸出两个球共有方法
种， 其中，两球一白一黑有
种. …………4分
.
………………………………6分
（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为B，
摸出一球得白球的概率为
，摸出一球得黑球的概率为
， ……8分
“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
.
……………………………12分
法二：有放回地摸两次，互相独立. 摸一次得白球的概率为
,……10分
“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 
………12分
8．在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是
，
，，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率
………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率为
……………………… 4分
⑶恰有两人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率
………………………………… 10分
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况……………………………………………12分
9．（洛阳一中）一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1
如图，有如下三
种联接方法：
①
②
③
（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
9．三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分 P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m） ∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0 ∴P（A2）＞P（A3）…………11分
三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优………………12分
10．口袋里放有12个大小完全一样的球，其中3个红色的，4个白色的，5个兰色的，在袋里取出4个球时，求
（1） 取出的球的颜色至少是两种的概率；
（2） 取出的球的颜色是三种的概率
11．同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.
解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=
，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=
+
=
……………（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=+
+…+
=
+…+
)?
………………………（10分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P3
P3=1?
=
相等
12．（山东实验）有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率.
（以上各问结果均用最简分数作答）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
13．（苏锡常镇一）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
.问：
（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
13．解（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是
；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为
.………4分 综上，第二次出现红灯的概率为+
.……5分
（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①当出现绿、绿、红时的概率为
；②当出现绿、红、绿时的概率为
；…9分
③当出现红、绿、绿时的概率为
；…………………………………………11分
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为++=
…12分
14．（苏州）沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为
，
，
，对于该大街上行驶的汽车，求：
（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；
（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；
（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．
14．7、解（1）
；-
（2）
；分
(3)
-------
15．一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球 4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率
15．解：恰有3个红球的概率P1= 
……4′有4个红球的概率P2=
……8′
至少有3个红球的概率P=P1+P2=
…………12′
16．（济宁）有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。
求：（Ⅰ）3张卡片都写有0的概率；（Ⅱ）3张卡片中数字之积为0的概率。
16．Ⅰ）
（Ⅱ）
17．（宿迁）某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率。
17．将3件正品，1件次品鉴定为2件正品，2件次品有两种可能：
（1）将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中有1件错误地鉴定为次品，这时的概率为
。
（2）将原1件次品鉴定为正品，再将3件正品中的2件错误地鉴定为次品，这时的概率为
。
于是所求的概率
18．（扬州）（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
（1）记事件“猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中”为A事件，
则P(A)=1-P(
)=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）记事件“第
次击中动物”为事件
（ =1,2,3），记事件“最多射击3次而击中动物”为事件B.
由条件P(B1)=0.6, P(B1)=
=0.4, P(B1)=
=0.3,
∵
,且是相互独立事件,又
、
、
是互斥事件，
∴
=0.832.
18．（镇江）某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求：
（I）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
18．（17）基本事件的种数为
=15种 ）
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有
=9种 这一事件的概率P1=
=0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生所求事件的概率P2=
……（9分）
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生所求事件的概率P3=
19．（南京师大附中）排球比赛的规则是5盘3胜制，A、B两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为和
.
（Ⅰ）前2盘中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率;
（Ⅱ）B队以3:2获胜的概率.
解:（Ⅰ）设最后A获胜的概率为
设最后B获胜的概率为
…………………………………4分
……………………8分
（Ⅱ）设B队以3:2获胜的概率为
.
20．（四市联考）有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率
解：设事件A{从第一个盒子中取得一个标有字母A的球}，事件B={从第一个盒子中取
得一个标有字母B的球}，
则A，B互斥，且P（A）=
，P（B）=
；（4分）
事件C={从第二号盒子中取一个红球}，
事件D={从第三号盒子中取一个红球}，
则C，D互斥，且P（C）=
（8分）显然，事件A?C与事件B?D互斥，且事件A与C是相互独立的，
B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为
（11分）
答：本次试验成功的概率为
21．有甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.6，每人各投篮三
次：
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙两人投中数相等的概率。
(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率
;…3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可视为3次独立重复试验中乙投中次数不少于1的事件发生的概率
……7分
(Ⅲ)分4种情况①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率为
.…………12分
22．（开封2）在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
求：①如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
②如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是
，计算红球有几个？
③根据②的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率？
解：①将5个黄球排成一排只有
种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有
种放法 ∴所求的排法为
=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）…4分
②取3个球的种数为
设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C. 
∵A、B、C为互斥事件 ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C） 即 
取3个球红球的个数≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则
为“3个球中没有红球”
或 
23．（苏四2）高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛；
③先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：（Ⅰ）参加单打的队员有
种方法.参加双打的队员有
种方法. （2分）
所以，高三（1）班出场画容共有
（4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.（6分）
所以，连胜两盘的概率为
（8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少胜盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为
（9分）
（2）胜两盘，此时的概率为
（11分）
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为
（12分）或：
高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘所以，所求概率为
（12分）
1990――2002年高考立体几何试题汇编
(90全国) 如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
（92理）两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n
（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.
（94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。
(1)求证：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离
（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.
(Ⅰ)求证:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵__________________________________
∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵___________________________________
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.
③ ∵ __________________________________
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④ ∵_________________________________
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵_________________________
(Ⅱ)解:
（97全国）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(Ⅰ)证明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;
（00广东、全国）如图，已知平行六面体ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
（Ⅰ）证明：C1C⊥BD；
（Ⅱ）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明。
（00两省一市）如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点。
（I）求的长；
（II）求，的值；
（III）求证
（01广东、全国）如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ―ABCD中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．
(Ⅰ)求四棱锥S―ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
（01两省一市）如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC,Oy∥AB.E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为h
(Ⅰ)求cos<,>;
(Ⅱ)记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角的平面角，求BED
（02全国）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若（）
（1）求的长；
（2）为何值时，的长最小；
（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小。
（02两省一市）如图，正三棱柱ABC―A1B1C1的底面边长为，侧棱长为。
（1） 建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；
（2） 求AC1与侧面ABB1A1所成的角
（02广东）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面。
（1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面与面所成的二面角恒大于
直线和圆高考试题集
1、(1997文)已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______
2、(2003江苏卷)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3、(2004上海春季)已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.
⑴ 求点的坐标；
⑵若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；
⑶对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.
4、(2004北京春季理)已知点A（2，8），，在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
⑴写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
⑵求线段BC中点M的坐标；
⑶求BC所在直线的方程。
5、(2002全国春季)已知某椭圆的焦点是、，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点、满足条件：、、成等差数列．
⑴求该椭圆方程；
⑵求弦中点的横坐标；
⑶设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围．
6、(2001上海春季)已知椭圆的方程为，点的坐标满足。过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：
⑴点的轨迹方程；⑵点的轨迹与坐标轴的交点的个数．
7、(2004广州春季高毕)已知向量=（x，），=（1，0），且（+）（?）．
⑴求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
⑵设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点A（0，－1），当时，求实数的取值范围．
8、(2003上海理)在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
⑴求向量的坐标；
⑵求圆关于直线OB对称的圆的方程；
⑶是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.
9、(1992理)已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）.证明：
10、(2003春季北京理)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
⑴求动圆圆心的轨迹M的方程；
⑵设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
11、(1987文)正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积。
12、(1984理)求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。
13、(2004广州春季高毕)若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为
（A）?1或 （B）1或3 （C）?2或6 （D）0或4
14、(2003全国理)已知圆C：（a＞0）及直线，当直线被C截得的弦长为时，则a= （ ）
A． B． C． D．
15、(2002全国理)圆的圆心到直线的距离是
（A） （B） （C） （D）
16、(1999理)直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D） （ C ）
17、(1990新题目组文)圆上的点到直线的距离的最小值是
（A）6 （B）4 （C）5 （D）1 （ B ）
18、(2003全国理) 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
19、(2003江苏卷)已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
20、(2002全国新课程卷理)平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为( )
21、(2002全国新课程卷理)已知两点，且点使，，成公差小于零的等差数列。
⑴点P的轨迹是什么曲线？
⑵若点P坐标为，记为与的夹角，求。
22、(2002全国春季)已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
23、(2001北京内蒙古安徽春季)设动点P在直线上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是
（A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线
24、(2000北京安徽春季理)如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
25、(1995理)已知椭圆，直线．P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|∙|OP|=|OR|2．当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
26、(1999理)如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
27、(1985理)已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，如图。求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。（要求把结果写成普通方程）
28、(2004年安徽春季理)抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.
29、(2003江苏卷)抛物线的准线方程是y=2，则a的值为（ ）
A． B．－ C．8 D．－8
30、(2002全国理)椭圆的一个焦点是，那么 。
31、(2002全国春季)若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．
32、(1994新考理)设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=900，则△F1PF2的面积是 （ A ）
（A）1 （B） （C）2 （D）
33、(2000全国理)过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于
（A） （B） （C） （D）
34、(2004年安徽春季理)已知F1、F2为椭圆（）的焦点；M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝600，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
35、(2003广东卷)双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
36、(2003春季北京理)如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 .
37、(2000全国理)椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 。
38、(2000北京安徽春季理)双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
（A）2 （B） （C） （D）
39、(1996理)设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
40、(1999理)设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
41、(2001全国理)设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
42、(2001广东卷)已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴?求证直线AC经过线段EF的中点．
43、(2001北京内蒙古安徽春季)已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
⑴求的取值范围；
⑵若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．
44、(2002全国理)设点到点、距离之差为，到轴、轴距离之比为。求的取值范围。
45、(1983理)如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N。设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
46、(1997理)设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
47、(2000全国理)如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率的取值范围。
48、(1986理)过点M（-1，0）的直线与抛物线y2=4x交于P1、P2两点。记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为；的斜率为k。试把直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数。
49、(2001广东卷)对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是
A．（－∞,０） B．（－∞,２） C．［０,２］ D．（０,２）
50、(1990理)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
51、(1991理)双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点。若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程。
52、(1990文)椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程。
53、(1994新考理)已知直线过坐标原点，抛物线C的顶点在原点。焦点在x轴正半轴。若点A（-1，0）和B（0，8）关于的对称点都在C上，求直线和抛物线C的方程。
54、(1996理)已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
⑴求的斜率k1的取值范围；⑵若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
55、(1990文)在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0。若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。
56、(1993理)在面积为1的△PMN中，.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。
58、(2004年安徽春季理)已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
⑴若C在点M的法线的斜率为－，求点M的坐标（x0，y0）；
⑵设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.
59、(2003春季北京理)有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
⑴若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？
⑵若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
不等式高考试题集
三角函数(1985年――2003年高考试题集)
新高考数列选题
1．（2000天津）（15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________。
2．（2003天津文）5．等差数列 （ ）A．48 B．49 C．50 D．51
3．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且则是 （ ）
（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列
（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
4．（2000天津理）（21）（本小题满分12分）
（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。
（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
5．（2000天津文）（19）（本小题满分12分）
设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。
6．（2002天津理）21、（本题满分12分）已知两点，且点使，，
成公差小于零的等差数列。
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求。
7．（2002天津理）22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，，。
(1)求；
(2)证明；
(3)求的通项公式及其前项和。
8．（2003江苏理）（22）（本小题满分14分）
设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅲ）当时，证明
9．（2003天津理）（22）（本小题满分14分）
设为常数，且．
（Ⅰ）证明对任意≥1，；
（Ⅱ）假设对任意≥1有，求的取值范围．
10．（2003天津文）19．（本题满分12分）
已知数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明
考试内容：
数列。等差数列及其通项公式、前n项和的公式。等比数列及其通项公式、前n项和的公式。
数列的极限及其四则运算。
数学归纳法及其应用。
考试要求：
(1)理解数列的有关概念。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题。
1. 给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是( )(86年(5)3分)
(A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)1899
2. 设命题甲:△ABC的一个内角为60o，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( )(88年(11)3分)
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件
(C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于( )(89年(5)3分)
(A)8 (B)16 (C)32 (D)48
4. 已知{an}是等比数列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,那么a3＋a5＝( )(91年(7)3分)
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
5. 的值等于( )(91年(12)3分)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6＝9,则log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝( )(93年(7)3分)
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2＋log35
7. 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌由一个可繁殖成( )(94年(5)4分)
(A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个
8. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若＝( )(95年(12)5分)
(A)1 (B) (C) (D)
9. 等比数列an的首项a1＝－1，前n项和为Sn，已知等于( )(96年(10)4分)
(A) (B)－ (C)2 (D)－2
10. 等差数列{an}的前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是( )(96年(12)5分)
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
11. 在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年(15)5分)
(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,)
1. ＝____________.(86年(14)4分)
2. ＝____________.(87年(12)4分)
3. 已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则＝_______.(88年(24)4分)
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么等于_______.(90年(18)3分)
5. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________.(92年(23)3分)
6. 已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，S＝______.(93年(24)3分)
1. 设a (n＝1,2,3……),
Ⅰ.证明不等式对所有的正整数n都成立;
Ⅱ.设b (n＝1,2,3……),用极限定义证明.(85年(16)10分)
2. 已知x1＞0,x1≠1,且x (n＝1,2,3……).试证:数列{xn}或者对任意的自然数n都满足xn＜xn＋1,或者对任意的自然数n都满足xn＋1＜xn.(86年(22)12分)
3. 设数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－,其中b是与n无关的常数,且b≠－1,
Ⅰ.求an和an＋1的关系式;
Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;
Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年(20)12分)
4. 是否存在常数a,b,c,使得等式1?22＋2?32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年(23)10分)
5. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.(90年(21)10分)
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3＝12,S12＞0,S13＜0,
Ⅰ.求公差d的取值范围;
Ⅱ.指出S1,S2,……S12中哪一个值最大,并说明理由.(92年(27)10分)
7. 设{an}是正数组成的数列,其前n项的和为Sn,并且对所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,
Ⅰ.写出数列{an}的前3项;
Ⅱ.求数列{an}的通项公式(写出推导过程);
Ⅲ.令b,(n∈N),求(b1＋b2＋……＋bn－n).(94年(25)14分)
8. 设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,
Ⅰ.证明:(lgSn＋lgSn＋2)＜lgSn＋1;
Ⅱ.是否存在常数c＞0,使得[lg(Sn－c)＋lg(Sn＋2－c)]＜lg(Sn＋1－c)成立?并证明你的结论.(95年(25)12分)
9. 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p＞q,且p≠1,q≠1.设cn＝an＋bn,Sn为数列{cn}的前项和,求.(97年(21)11分)
10. 已知数列{bn}是等差数列,b1＝1,b1＋b2＋……＋b10＝145.
①求数列{bn}的通项bn;
②设数列{an}的通项an＝loga(1＋)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与的大小,并证明你的结论.(98年(25)12分)
11.
组成,带钢从一段输入,经过各队轧辊逐步减薄后输出
(1)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊
的减薄率不超过r0,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?
(一对轧辊减薄率＝)
(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm,若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检修,请计算L',L2,L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)(99年(22)12分)
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位:mm)
1600
12. 已知函数y＝f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定义
(1)求x1,x2和xn的表达式;(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域
(3)证明y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点(99年(23)14分)
十九 函数高考试题选编
考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.
(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.
1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
B
2.函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
C
3.
在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
D
4.设S，T是两个非空集合，且SËT，TËS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
D
5.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x２
B
6.集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
B
7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
8.与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a
(a＞0且a≠1) D.y＝logaax(a＞0且a≠1)
D
9.已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
A
10.方程2
的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
A
11.设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
B
12.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
D
13.函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
B
14.如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
A
15.函数y＝(x＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东)
A.(－∞，－4] B.[－4，＋∞) C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
A
16.如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
B
17.设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A. B.∪N C.∪N D.
D
18.等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
A
19.图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
B
20.
函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
C
21.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A
22.
当0＜a＜1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是(92年上海)
A. B. C. D.
D
23.设全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|logx7＞log37}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2} B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜3}
B
24.对于定义域为R的任何奇函数f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R) B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R) D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C
25.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
A
26.设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
B
27.
函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是(93年上海)
A. B. C. D.
C
28.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(93年三南)
A.M＝N B.NÌM C.MÌN D.M∩N＝φ
C
29.设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
C
30.
设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1 x
1
x 1
O
－1
－1 O x O
1 x －1
B
31.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
C
32.
当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
B
33.设I是全集，集合P，Q满足PÌQ，则下面结论中错误的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q B.∪Q＝I C.P∩＝φ D.
D
34.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)
＞(1－a)
B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
A
35.已知I为全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.ÍN C. D.ÊN
C
36.
函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B.
y C. y D. y
O 1 x
－1 O x O 1 x －1 O x
B
37.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
B
38.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ B.PÌQ C.QÌP D.P∪Q＝R
B
39.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
C
40.
当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1
1
1
1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
A
41.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
B
42.如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
B
43.
在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
A
44.设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
B
45.将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
D
46.定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
C
47.三个数60.7，0.76，log0.76的大小关系为(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
D
48.
函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A.
y B. y C. y D. y
1 1
1
o x
o x o x
o x
B
49.函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
B
50.如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年广东)
A.最小值和最大值1 B.最大值1和最小值
C.最小值而没有最大值 D.最大值1而没有最小值
B
51.
如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C
52.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
A
53.若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
A
54.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
55.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
…
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
C
56.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
57.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A. B.8 C.18 D.
D
58.
函数y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B
59.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
A
60.若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
A
61.已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是(2000广东)
A.15 B.16 C.3 D.4
A
62.设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1) B.() C.() D.(1，3)
B
63.集合M＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32 B.31 C.16 D.15
A
64.函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y) B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C
65.函数y＝－的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x2－1(－1≤x≤0) B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0) D.y＝1－x2(0≤x≤1)
C
66.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A. B.8 C.18 D.
D
67.若定义在区间(－1， 0) 内的函数f(x)＝log2a(x＋1) 满足f(x)＞0， 则a的取值范围是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞) B.(0，] C.(0，) D.(0，＋∞)
C
68.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分)
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减;
其中，正确的命题是
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
A
69.满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是(2002年北京(1)5分)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
70.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y＝－cotx
B
71.
如图所示，fi(x)(i＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x1和x2，任意l∈[0， 1]， f[lx1＋(1－l)x2]≤lf(x1)＋(1－l)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)
A.f1(x)， f3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)
A
72.
一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)
图(1)
图(2)
A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
C
73.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分)
A.M＝N B.MÌN C.NÌM D.M∩N＝φ
B
74.函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分)
A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
D
75.函数y＝1－(2002年广东(9)5分)
A.在(－1，＋∞)内单调递增 B.在(－1，＋∞)内单调递减
C.在(1，＋∞)内单调递增 D.在(1，＋∞)内单调递减
C
76.函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分)
A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0
A
77.据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十?五”期间(2001年――2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分)
A.115 000亿元 B.120 000亿元 C.127 000亿元 D.135 000亿元
C
78.
函数y＝1－的图像是(2002年全国(10)5分)
A． B. C. D.
B
79.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
C
80.若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A． B．－ C．2 D．－2
A
81.关于函数f(x)＝(sinx)2－，有下面四个结论：
(1)f(x)是奇函数 (2)当x＞2003时， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是－
其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
答：[－1，1]
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
答：y＝2＋
3. 方程
的解是__________.(86(11)4分)
答：x1＝
4. 方程9－x－2?31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2
5. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)
6. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
答：y≥0
7. 函数y＝的定义域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)
8. 设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)2＋1
9. 设函数f(x)＝x2＋x＋的定义域是[n，n＋1](n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有_______个整数(91年三南)
答：2n＋2
10.
方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1
11.
设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
答：
12.
已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
答：x≥－1
13. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
14. 函数y＝x2－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2
15. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：
16. 函数y＝lg的定义域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)
17. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)8
18. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1
19. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
答：(1，2)
20. lg20＋log10025＝________(98上海)
答：2
21. 函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
答：
22. 函数y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4
23. 函数y＝log2的定义域为____________(2000上海(2)4分)
答：(，3)
24. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1
25. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
答：9
26. 
设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x
27. 函数
的反函数
______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)
28. 关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分)
(1)对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
(3)存在φ，使f(x)是奇函数；
(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(两个空格全填对时才能得分，其中k也可以写成任何整数)
29. 方程log3(1－2?3x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1
30. 已知函数y＝f(x)(定义域为D，值域为A)有反函数y＝f－1(x)，则方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要条件是y＝f－1(x)满足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f－1(0)＝a且f－1(x)＜x(x∈A)；y＝f－1(x)的图像在直线y＝x的下方，且与y轴的交点为(0，a)；……
31. 函数y＝(x∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)
32. 函数y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a＝______(2002年全国(13)4分)
答：2
33. 已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分)
答：
34. 若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)＝f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一个正整数倍均可)
35. 已知函数f(x)＝＋1，则f－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4
36. 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AÍB，则实数a的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)
37. 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原对数方程有意义，可得x的取值范围是－0.5＜x＜1，
原方程化为log4 即
解这个方程得x1＝0，x2＝7.
其中x1＝0∈(－，1)是原方程的解，x2＝7Ï(－，1)，应舍去.
2. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在实数a和b使得①式成立，则存在整数m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m2＋15)
即n＝m， na＋b＝3m2＋15
∴na＋b＝3n2＋15
这个等式表明点P(a，b)在直线l:nx＋y＝3n2＋15上
原点O到直线l的距离d＝
∴d≥12，当且仅当n2＝3时取等号，而n∈Z，∴n2≠3，故只有d＞12
∴点P到原点的距离|PO|＝＞d＞12，即a2＋b2＞144.
而②成立要求a2＋b2≤144.
由此可知，同时满足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在实数a，b能同时满足①②，
同解法一，由①成立知，存在整数n使得na＋b＝3n2＋15，即b＝3n2－na＋15， (*)
由②成立得a2＋b2≤144
将(*)式代入上式，并按a整理得关于a的二次不等式
(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0
它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)
∵n∈Z，∴n2－3≠0，于是△＜0
又因1＋n2＞0，故这个关于a的不等式不可能有实数解
即是说不存在实数a，b，使得①②同时成立.
解法三:如果存在实数a，b能同时满足①②，同解法一，由①成立知，存在整数n使得
3n2－an－(b－15)＝0
(*)
于是它的判别式应非负，即△＝a2＋12b－180≥0
(**)
由此得12b－180≥－a2
由②成立知a2＋b2≤144，
(***)
即
－a2≥b2－144
因此有12b－180≥b2－144
即(b－6)2≤0
只有b＝6
将b＝6代入判别式(**)得出a2≥108
但将b＝6代入(***)式得出a2≤108
于是只有a2＝108，此时从(*)式解出n＝ÏZ
所以不存在实数a，b，使得①②同时成立.
3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CÍA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以为A，B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B的元素个数是12＋12－4＝20个，所以满足条件①的集合个数是C
，在上面集合中，还满足A∩C＝φ的集合C的个数是C
，因此所求集合C的个数为
＝1084.
解法二:由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1个元素的所求集合C的个数为C
；同理，含A中2个元素和3个元素的集合C的个数分别为C
和C
，总数为C
＝1084.
4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
证法一:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，且
y2－y1＝
＝
∵a≠1且x1≠x2，∴y2－y1≠0
从而直线M1M2的斜率k＝≠0，因此直线M1M2不平行于x轴.
②设点P(x1，y1)是这个函数的图象上任意一点，则x1≠ (i)
易知点P(x1，y1)关于直线y＝x的对称点P1的坐标为(y1，x1)
由(i)式得 y1(ax1－1)＝x1－1
变形得 x1(ay1－1)＝y1－1
(ii)
假如ay1－1＝0，则y1≠，代入(i)得 Þ a＝1
这与已知a≠1矛盾，∴ay1－1≠0
于是由(ii)式得 x1= 这说明点P1(y1，x1)也在已知函数的图象上
因此这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.
证法二:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，
假如直线M1M2平行于x轴，那么y1＝y2，即
去分母整理得 a(x1－x2)＝x1－x2，
∵x1≠x2，所以a＝1，这与已知矛盾，因此M1M2不平行于x轴.
②先求所给函数的反函数.
由 y＝ (x∈R且x≠)
得 y(ax－1)＝x－1 即 x(ay－1)＝y－1
假如ay－1＝0，则y＝，代入所给函数的解析式，得
即ax－a＝ax－1 所以a＝1，这与已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函数的反函数为y＝(x≠)，与原函数相同.
由于函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，
所以函数 y＝ (x∈R且x≠)的图象关于y＝x对称.
证法三:①任取一条与x轴平行的直线l，设其方程为y＝c(c为常数)
下面考虑l与所给函数的图象是否相交，以及交点个数的情况:
将y＝c代入y＝
整理得 (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝时，上式变为0＝c－1，即c＝1 Þ a＝1
这与已知矛盾，故此时l与函数图象无交点；
当ca－1≠0时，得x＝
这说明原方程只有一个解，从而直线l与函数图象只有一个交点(，c)，
综上所述，平行于x轴的直线l不可能同时经过所给函数图象上的两个不同点，
因此，经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴.
5. 
已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
解法一:由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足
当①②同时成立时，③显然成立，因此只须联立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k2)
④
当k＝0时，由a＞0知④无解，因而原方程无解；
当k≠0时，④的解为x＝ ⑤
将⑤代入②得 ＞ak
当k＜0时得k2＞1，即k＜－1； y y1
当k＞0时得k2＜1，即0＜k＜1；
y2
y2
综合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
解法二:原方程等价于 x－ak＝ (x2＞a2)
ak －a o a x
记y1＝x－ak，y2＝ (x≠±a)
则y2是双曲线x2－y2＝a2在双曲线上方的部分其渐近线为y＝±x，
y1是一条在x轴上截距为ak的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，
如图，当y1与y2有公共点时原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即当k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
注:用数形结合法解题时应说明或论证出图象与本题有关的主要性质，否则要扣分.
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
解：①解:设x∈Ik，则x－2k∈I0，又f(x)是以2为周期的函数，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，
即对于k∈Z，当x∈Ik时，f(x)＝(x－2k)2，
②解法一:当k∈N且x∈Ik时，由①可得方程为(x－2k)2＝ax
整理得 x2－(4k＋a)x＋4k2＝0
它的判别式△＝(4k＋a)－16k2＝a(a＋8k)
且 x1，2＝
于是，f(x)＝ax在区间Ik上恰有两个不相等实数根的充要条件是a满足
化简得
由(i)知a＞0或a＜－8k (∵k∈N，∴k＞0)
当a＞0时，因2＋a＞2－a，故从(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)2
即 即 即0＜a≤
当a＜－8k时，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)2
无解，
综上所述，a应满足0＜a≤，故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程为(x－2k)2＝ax (i) y
记y1＝ax，y2＝(x－2k)2，
y1 y2
要使方程(i)在Ik＝(2k－1，2k＋1]上有两个相异实数解， 1
只须y1与y2的图象在内有两个相异交点.
o Ik x
当x∈Ik时，y1是一条线段，其所在直线过原点，斜率为a，
y2是一段抛物线，顶点在(2k，0)，开口向上，如图:
当y1夹在x轴与l之间时满足题意，其斜率应满足0＜a≤.
故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
7. 
设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
①解:f(x)当x∈(－∞，1]时有意义的条件是
1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa＞0 x∈(－∞，1] n≥2
即a＞－[(] x∈(－∞，1]
(i)
因为 －()x (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函数，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函数，
从而它在x＝1时取得最大值，为－[(.
因此(i)式等价于a＞－.
也就是的取值范围为{a|a＞－}.
②证法一: 2f(x)＜f(2x)
a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
a∈(0，1]，x≠0，
现在用数学归纳法证明该不等式:
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