在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造性思维，就应该有与之相适应的，能促进创造性思维培养的教学方式。当前，数学创新教学方式主要有以下几种形式：
1 、开放式教学。
这种教学在通常情况下，由教师通过开放题的引进，在学生参与下解决，
使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放，一个问题可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题；三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。
2 、活动式教学。
这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动，包括模型制作、
游戏、行动、调查研究等，使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。
3 、探索式教学。
采用“发现式”，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、
问题的解决等过程。
要培养学生的创造思维能力，应当在数学教学中充分有效地结合上述三种形式（但不限于这三种形式），通过逐步培养学生的以下各种能力来实现教学目标：
一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣。
试题详情
1993年全国高考数学科命题组就指出：“要考查一些开放问题”，国家教委将“数学开放题”列为九五重点科研项目．相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素――条件、策略、结论中有一些是不明确的（分别称为条件开放题、策略开放题、结论开放题）．当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要．数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体．二是高考命题的导向作用，数学开放题走进高考试卷的需要．三是数学走向应用的需要．我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题．
为了满足上述三方面的需要，必需将开放题引进课堂教学．本文谈对数学开放题教学的一些认识，不当之处，谨请多多指教．
１、砸破篱笆，让学生展开想象的翅膀
青少年时代是一生中最富有活力、充满想象的时代．开放题往往形式活泼，供学生思考的角度众多，思维活动的空间宽阔，正好给青少年学生提供了一个展翅的舞台．而封闭题往往形式单一，要求学生在特定的范围内进行定向思维．长期作这类机械式的思维训练，学生的思维中将立起一道道难以逾越的篱笆．这样的教学活动，不仅没有促进学生进一步开放自己，反而束缚了他们的思想．通过开放式教学，可以让学生砸破这些禁锢思想的篱笆，展开想象的翅膀，自由地发挥自身才华．
根据我校搬迁前曾有一块操场需要改造这一实际，我们编拟：
开放题１ 我校准备在长120米，宽100米的空地上建造操场，请同学们设计操场形状，思考能否造出满足以下条件的环形操场．
①每道跑道宽1.22米；②跑道用直线或圆弧吻接；③跑道共八道且内圈为
300米．
本题有学生认为不能造出满足要求的操场，他认为操场应由两个半圆和一个矩形构成（如图１），经计算，跑道内圈无论如何达不到300米的要求．也有学生认为能造出满足要求的操场，可将操场设计成如图２，由四个四分之一圆弧及五个矩形构成．还有学生将操场设计成如图３，弯道部分由三段圆弧组成，他们认为这样才是操场．更有学生将操场设计成花园式（如图４），跑道全部由圆弧组成，他们认为这样的操场更美．
开放题2 用一块长2米，宽1.6米的玻璃加工出椭圆形镜子（镜面为完整的一体）．①要使镜面面积最大，该如何设计加工镜子(注S椭=
)．
本题主要考察学生如何画出椭圆，培养学生的动手能力．可以用硬纸板代替玻璃，让学生亲手画一画，动手截一下．学生至少可从以下几个角度去思考:①建立坐标系，写出方程描点；②确定焦点，长轴长，由第一定义得到；③用解析几何课本P116椭圆参数方程的定义；④用椭圆规工作原理(P124)．
2、传授定式，帮学生克服畏惧的心理
开放题引入课堂教学之初，学生的表现往往士为一是觉得好奇，感到有趣；二是感到畏惧，不知从何处入手．这就要求我们教师介绍一些典型开放题的求解思路，帮学生建立科学的思维定式．
⑴寻找充分条件型开放题．
开放题3 在直四棱柱
中（如图５），当底面四边形ABCD满足条件 时，有
（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形1998高考卷第18题）．
这类题型，只需找到能使结论成立的一个充分条件即可，而不必去寻找结论成立的充要条件．这类问题的要求并不高，可考虑特殊值或极端情形，从而找出充分条件．这一点，学生一开始往往不习惯．
⑵“是否存在”型开放题．
开放题4
设{
}是由正数组成的等比数列,
是其前n项和.是否存在常数Ｃ>0,使得
成立？并证明你的结论（1995高考卷第25题）．
这类开放题的答案，不是肯定就是否定，开放度较小．若“存在”，就是具有适合条件的某种数学对象，无论用什么方法，只要找出一个就说明存在．若“不存在”，一般需要有严格的推理论证．故这类“是否存在”型开放题的解决思路一般为，先假设存在满足条件的数学对象，如果找出矛盾，说明假设不成立，进而否定假设，如果经过严格推理，没有找到矛盾，说明确实存在，找出满足条件的一个对象即可．
⑶猜想型开放题．
开放题5 已知数列{bn}是等差数列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145， b1=1．①求数列{bn}的通项bn；②设数列{an}的通项an= 
其中a＞0且a≠1），sn是数列{an}的前n项和，试比较sn与
的大小(1998高考理科第25题)．
解答这类开放题，要求学生学会猜想．牛顿早就说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．”美国数学教育家彼利亚在1953年也大声疾呼：“让我们教猜测吧！”可我们在日常教学中，往往过分强调数学学科的严谨性和科学性，忽视实验猜想等合情推理能力的培养，让学生觉得数学枯燥、无趣、难学．
我们应该教会学生如何猜想．教学生通过实验、观察，进行猜想，教学生通过对特例（特殊值）的分析、归纳, 猜想一般的规律（共性），教学生通过比较、概括得到猜想，教学生对具体问题的特殊解从宏观上作出估算．先有猜想，再作严密的数学证明．这样“既教猜想，又教证明”，让学生体会到数学也是生动活泼，充满激情，并富有哲理的一门学科．不至于学生说“过了几十年，还做学习数学的恶梦”（徐利治语，见文５）．
３、开展实验，用计算机辅助开放式教学
利用计算机强大的计算功能和作图功能辅助开放式教学，有利于改善课堂气氛，激发学生的学习兴趣；有利于“观察（实验）、猜想、证明（否定）”这一思想方法的运用，快捷方便地验证学生自己作出的猜想，从而充分利用课堂活动的时间．
开放题6 （荒岛寻宝）从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中发现一张破羊皮纸，上面指明了一项宝藏，内容是这样的：
“在北纬＊＊，西经＊＊，有一座荒岛，岛的北岸有一片草地，草地上有一棵橡树，一棵松树和一座绞架．从绞架走到橡树，并记住所走的步数，到了橡树向左拐一个直角，再走相同的步数并在那里打个桩．然后回到绞架再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向右拐一个直角，再走相同的步数并在那里也打个桩，在两桩连线的正中挖掘，就可获得宝藏．”
年轻人欣喜万分，租船来到海岛上，找到了那片草地，也找到了橡树和松树，但绞架却不见了．长期的日晒雨淋，一切痕迹也不复存在．年轻人无从下手，只好空手而返．同学们，你能用数学方法帮助这位年轻人吗？
本题，学生往往不知从何处入手．如果我们利用数学教学软件几何画板制作图６（设Ａ，Ｂ两点为橡树和松树所在地，假设Ｃ为绞架所在地．依题意找到打桩处Ｄ，Ｅ）．不妨先让我们做一个小实验．拖动点C，我们将会发现，无论C在何处，DE中点H是不动的．我们问：这说明什么？宝藏是否就在中点Ｈ处？
这样，学生将会积极地思索，不难从解析几何，复数、向量、平面几何角度寻求具体的解决方法．
学习“过抛物线
的顶点Ｏ作二条互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)则弦AB 恒过定点(2P ，O ) ”之后,引导学生探讨：
开放题
7 过抛物线 上任一点C(
，
) 作二条互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 则弦AB有什么特性? 利用几何画板设计如图 ；
探讨过程为 ：
1 、双击移动按纽 “ 移 动C→O ” 显示直角顶点在原点时，弦AB 恒过定点(2P ，0) .
2、直角顶点移回C 处，对AB作轨迹跟踪，发现弦AB过一定点.
3、作出该定点D并显示该点坐标.
4、寻找关系：⑴ 显示C及点C关于X轴对称点E的坐标，我们发现点D与点E的纵坐标相同.⑵ 作出线段ED并显示长度，发现 ED = 2P.
5 、改变点C 的位置，或拖拉焦点F,变化P 的长度再作上述观察.确认我们的结论正确,从而猜想弦AB恒过定点D(
，
) .
6 、用代数方法证明以上猜想.
参考资料
1、戴再平：数学习题理论，上海教育出版社．1991.4
2、张奠宙：数学教育的全球化，开放化、信息化、数学教育．1998.5
3、王珂：从高考的新题型―开放题引起的思考，数学通报． 1999.12
４、陈锡龙:设计开放性的数学教学初探,中学数学教学参考．1999.10
５、“现代数学及其对中小学数学课程的影响”数学家座谈会纪要
数学通报． 1999,11.
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例 谈
情 境 教 育
内容提要：情境教育是素质教育的一种教育模式，它服务于素质教育，是实施素质教育的一条有效途径。创设良好的教学情境，能使数学教学达到意想不到的效果。本文从两个定理的教学情境的创设，以及达到的教学效果出发，论述情境教育在素质教育中的重要意义。
关键词：情境教育；情境教学；素质教育
一 情境教育
情境教育是由情境教学发展而来的。近半个世纪来，中国的教育受凯烙夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教学则针对我国传统的注入式教学造成的中学数学教学的弊端而提出的，这些弊端是：呆板、繁琐、片面、低效，以及压抑学生兴趣、特长、态度、志向等素质发展。情境教学开辟了一条促进学生主动发展，人格素质全面发展的有效途径。
情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂气氛会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界，知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多方面去思考问题。教师可以给予一定的物质条件，让学生自己动手实践，自主探索与合作交流。
二 两个定理的教学
在初二几何的勾股定理的教学中，如果教师讲授新课时，照本宣科地将知识程式化地交给学生，学生即使知其然，却不知其所以然。失去了对知识、技能、方法的领悟过程。不如先给学生讲“勾股定理”的历史及其一些著名的证明方法，把学生带入勾股定理的教学情境。
教师可介绍：《九章算术》记载：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何。答曰：五尺[1]。
我国古代称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦[2]。又如《周髀算经》称：“勾广三，股修四，径隅五。”课本表述为：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理，国外称为：毕达哥拉斯定理。勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索它的证明方法。同学们能否猜出有几种证法？怎么证？
这个问题一提出，就让学生倍感新鲜、有趣。当教师告诉学生它的证明方法有500来种，更让他们吃惊。接着教师可以向学生介绍历史上几种著名的证法。如果学校教学条件允许的话，教师可发挥信息技术的优势，利用现代教育媒体，配合教学课件，为学生展现证明的过程，使学生印象更深刻。
（课件演示）
（一） 刘徽以割补术论证这一定理（图1）
（二） 赵君卿注里记载的证法 （图2）
2ab+(b-a)2=c2 化简为 a2+b2=c2
（三） 利用相似三角形的性质的证法 （图3）
直角三角形ABC，AD为斜边BC上的高。
利用相似三角形的性质可得：
AB∶BC=BD∶AB 即 AB2=BD×BC
AC∶BC=DC∶AC AC2=DC×BC
两式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC2
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B 朱出
a 朱方
青入 C b A 青入 朱入
青出 青出 
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c a b （图1）
（图2） （图3） （四）如图一：两个正方形边长分别是a，b。它们的面积和为 a2+b2 如图二：在图一的基础上，构造了以a，b为直角边的直角三角形，斜边为c。 在图二的基础上把两个直角三角形顺时针旋转90°，构成了如图三的正方形，且它的边长为c，即面积为c2。 定理得证。
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a c
b a b
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a c b b
a （图一）
（图二）
（图三） 教师在演示课件时，可介绍这几种证明方法，让学生清楚运用割补法、等比法、代数法等可证明定理。学生们观看了教师所演示的勾股定理的几种证法之后，有了一种豁然开朗的感觉，并为之惊叹！产生“竟有此事”之感。如此简明、巧妙的证法，且都是非常形象、简单。这时，教师可抓住这时学生产生惊诧，思维正处于积极活动状态的教学情境，让学生用课前准备的材料，自己动手试一试。 要求：用8个全等的直角三角形，它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c；3个边长分别为a，b，c的正方形，用拼图的方法来证明勾股定理。
（图4） 教师演示的各种前人证明勾股定理的方法，激发了学生的求知欲，他们迫不及待地想自己动手尝试，希望自己也能证明定理。由于有了许多前人的证法作铺垫，学生有条件、有能力去思索和探究。学生们在教师的指导下，很快就能把定理证出来（如图4）。教师也就能在一个轻松的环境中完成“勾股定理”的教学。 因此，教师所创设的这个勾股定理的教学情境，由于引入了勾股定理的历史背景，及简明、巧妙的证法，为学生学习定理提供了环境，激发了学生的学习动机和好奇心，培养了学生的求知欲望。教学过程中教师还要求学生自己动手实践，使学生深入其境，真正作为一个主体去从事研究。调动了学生学习的积极性和主动性[3]。提高学生运用知识解决实际问题的能力和动手能力，学生在实践过程中，免不了与其他同学合作、交流，同时也就培养了学生的合作精神，在这过程还能使学生尝试失败和挫折，体验成功的喜悦！所有这些，都对后续学习起了一定的激励作用。所以，实施素质教育，创设教学情境至关重要。 在素质教育中，我们提倡提高教学效率，减轻学生学习负担。所谓教学效率是学习收获与师生的教学活动量在时间尺度上的度量。教师只有注重提高课堂教学效率，才能在保证教学质量的同时，努力减轻数学课的学习负担，让学生获得较好的自由度，发挥较大的积极性和主动性。下面以“三角形中位线定理”一节为例[4]，谈谈情境教学对提高课堂教学效率的积极作用。 在“三角形中位线定理”这一节中，教科书中利用“平行线等分线段定理推论2”得到了“三角形中位线定理”。它是运用同一法思想来推理的。初中学生还不容易接受，但决不能因此而简单地把定理告诉学生，然后就开始练习。我们可以通过创设问题情境，启发诱导引入新知识，激发学生的求知欲，让他们在迫切要求之下学习。  在复习平行线等分线段定理的推论2后，结合图形（图5）分清定理的条件是AD=BD，DE∥BC。结论是AE=CE。
（图5）  提出问题后，学生可能证明结论有些困难，这时可稍作引导，提醒学生：“我们现有几种判定平行的方法？”学生容易联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等方法，可提醒学生还有：平行四边形来判定对边平行。并注意条件是AD=BD，AE=CE。这时同学们经思考有些已找到思路。通常能找到两种证明方法。
一种是如图6，延长DE至F使EF=DE。由ΔADE≌ΔCFE得AD∥CF且AD=CF。从而证得四边形DBCF是平行四边形，所以DE∥BC。
（图6） 教师可用多媒体设备，演示课件，把两个证明过程演示出来，这样更吸引了学生的注意，最后介绍教科书上的推理过程。在这样的教学过程中，既激发了学生学习几何的兴趣，又使学生对三角形中位线定理有了深刻的理解。同时活跃了学生的思维，收到较好的课堂教学效果。 但教师应不极限于常规的证法，应积极创造条件，要学生去思索、去研究、去创造。比如三角形中位线定理，可尝试用向量的方法来证明。 如图7，在ΔOAB中，C、D分别为OA、OB的中点，设有向线段   ，
∴ 同理：
（图7） 用向量计算代替传统平面几何中有些过于复杂的演绎推理，这不仅是一种解题方法的变革，更重要的是研究平面几何的观点的变革。这种变革，已逐渐成为平面几何教材的一种流派。用向量法计算，有时可避免用演绎法时所带来的某些麻烦。 这里教师还可设置悬念，为下节课梯形中位线定理的教学埋下伏笔。让学生亲自动手画梯形，并测量其上、下底和中位线的长度，要求学生探索梯形的上、下底和中位线是否和三角形一样具有一定的数量关系。这样会激起学生继续学习的热情。 由于学生亲自做一做，测一测，猜一猜等实践活动，初步得出结论：梯形中位线好象平行于两底并且约等于两底和的一半。这时教师可通过多媒体关于角的重叠，线段的叠加等演示活动，让学生形象直观的进一步加深对自己的发现正确性的强烈印象。教师再给出证明定理的基本策略提示： （一）
证线段平行的途径和方法： 1、两条平行线互相平行→证线段平行 2、平行四边形两组对边平行→证平行四边形 3、三角形中位线平行底边→证三角形中位线 （二）
证明一线段等于两线段和的途径和方法有： 把线段分成两段使其分别与要证的两线段相等，或把两线段合成一线段使其与另一线段相等，再利用三角形全等，或用三角形中位线定理证之。 证明基本策略给出后就给了学生充分自主的活动空间，充分调动了他们学习的积极性，使其成为学习的主人。因此，学生得出许多不同的证明方法。    （方法一） （方法二） （方法三）
（方法四） （方法五） 这种让学生实践、体验的教学方式与传统教学中单纯的知识传授和结果测查截然不同的，它更注重于学习的过程。 学习完了定理，如何让学生更好地掌握定理呢？数学中的定理是一个有序的结构体系，要掌握一个定理，必须了解它在定理体系中的地位和作用，以及它们之间的关系。杂乱无章的定理，犹如散沙一盘，不便于保持和选取。在教学中应引导学生按定理的内在联系将它们组织成一个逻辑图，形成定理链，使之在定理的结构体系中掌握定理。如“三角形中位线定理”与“梯形中位线定理”的联系：（如图8）当梯形的上底等于零时，梯形变成三角形，这时，“梯形中位线定理”与“三角形中位线定理”等价，即“三角形中位线定理”是当梯形上底等于零时的“梯形中位线定理”。教师可以用多媒体课件演示它们之间的关系，加深学生对它们的关系的理解。
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（图8） 在此过程中，教师还可进一步拓展定理，提出：“当梯形和三角形的中位线所在的直线向上、下平移时，会产生什么后果？各线段之间有何联系？”这样又创设了一个问题情境，使学生很自然地进入到另一个问题情境中，教师也就顺利地把学生的思维带到了“平行线分线段成比例定理及其推论”的教学中来。这个教学过程是师生交流、共同发展的互动过程，教师在教学过程中，不仅是传播知识，更重要的是发挥育人的功能，培养学生掌握和利用知识的素质和能力。发现并激发学生的潜能，提高教学效率，减轻学生学习负担。 三 创设教学情境应注意的几个问题 以上两个例子的教学情境的创设说明：情境教学能促进教学过程变成一种不断能引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。它借助新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足。但应注意以下几个问题： 1、
教师在创设问题情境时，一定要紧扣课题，不要故弄玄虚，离题太远，要有利于激发学生思维的积极性、要直接有利于当时所研究的课题的解决，既要考虑教学内容又要考虑学生的差异，注意向学生提示设问的角度和方法。使学生从教师的情境设计教学中学到提问题的本领。一个好问题应该是解答中包含着明显的数学概念与技巧；或问题有多种解法；或问题能够推广各种情形；或问题来自学生的经验和日常生活中[5]。 2、
要启发引导，保持思维的持续性。首先要给学生一定的思考时间和空间，必要时可作适当的启发引导，教师的启发要遵循学生思维的规律，因势利导、步步释疑，切不可不顾学生的心理状态和思维状态，超前引路，也不可强制学生按照教师提出的方法和途径去思考问题，越俎代庖。 3、
要不断向学生提出新的数学问题，要提出带有导向性、难度适宜、启发性的问题。其实，问题并不在多少，而在于是否具有启发性，是否是关键性的问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考。 4、
鼓励学生大胆发言，保护学生的独特见解，即使对没有多大价值的问题，也要尽量找出合理部分，给予及时的肯定和表扬。 四 结束语 教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力，同时又使课堂教学丰富多彩，生动活泼，另外，对教师也提出了更高要求，不仅自己要刻苦钻研、精心设计，而且要经常向别人学习，学习别人先进的教学方法和设计思路，另外还要敢于示范，在学生面前展示自己的思维过程，在教学中应打破“老师讲，学生听”的习惯，变“传播”为“探究”，充分暴露知识形成的过程，促使学生以探索者的身份去发现问题，总结规律，获得成功，同时激发学生钻研，从而为学生将来成为创造型人才奠定基础。总之，情境教育是实施素质教育的有效途径。 参考文献 【1】白尚恕 《九章算术》注释[M] 科学出版社 1983 【2】人民教育出版社中学数学室
几何[M] 人民教育出版社 2001，3 【3】燕国材 素质教育概论[M] 广东教育出版社 2002，1 【4】陈 虹 教学结构设计优化一例[J] 中学数学月刊 2000年，第2期 【5】 施文娟 发挥问题情境教育在数学教学中的作用[J] 宁波大学学报（教育科学版）2001年，第3期 试题详情
“直线与平面”错解点击 四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)3358610 maoshili@126.com 在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错． 下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力． 例1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．  错解 如图, 对于平面 ，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．
在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O， ∴点P在平面上的射影在BC上． 点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉． 正解 AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足． 则BC是AC在平面上的射影． 在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O． ∴AB⊥， ∴PO
∥AB，
∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO 平面ABC，
∴ O∈BC． 例2 已知、 是两个不重合的平面， ①若平面⊥平面 ，平面⊥平面，则平面∥平面； ②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面； ③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面； 以上正确命题的个数为( )． (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 错解 三个命题都正确，选(D)． 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况．  
(1)
(2)
(3) (4) 而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”． 正解 因为三个命题都不正确，所以选(A)． 例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，与F1G2是异面直线． 错证1 (直接法)  ①连BD，由题设 = ， = ，
∴ E1H1与BD不平行，设其交点为P， 则P∈BD． ∵  = =, 则 F1G2∥BD，∴ P F1G2． ②又E1P 平面BCD，且E1∈E1P，
∴ E1平面BCD． 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线． 错证2 (反证法) 设E1H1与F1G2不是异面直线，则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2． ①设E1H1
∩F1G2=P， ∵E1H
平面ABD，F1G 平面CBD， 则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上， 则F1G2∩ BD=P，这与F1G2∥BD (∵△CBD中，==)矛盾，
∴ E1H1与F1G2不相交． ②设E1H1∥F1G2， ∵ F1G2∥BD，由公理4知 E1H1∥BD，这与E1H1
 BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾，
∴ E1H1与F1G2不平行． 综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线． 点击 采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上，且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上，只证E1H1与F1G2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的． 在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能．因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性． 例4 在正方体ABCD―A1B1C1D1中，求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角． 错解 连结A1C交BD1于E，则∠D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角．设正方体的边长为a.  则A1E=D1E= a．又 A1D1=a，
在△A1ED1中，由余弦定理得 cos∠A1ED1= = = =
∴∠A1ED1=arccos,即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos. 点击 以上证法的错误在于，∠A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影．正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影. 正解 ∵A1B1⊥平面A1ADD1, 又A1B1平面A1B1CD ∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD. 连结AD1交A1D于O,则D1O⊥A1D, ∴D1O⊥平面A1B1CD. 连A1C交BD1于E，连OE，则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影, ∴∠D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的边长为a, 则D1O= a, OE= AB=a, 在Rt D1OE中, tan∠D1EO= = ,
∴ ∠D1E0=aretan，即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan.   例5 已知，AB是半径为R的⊙O的直径，0C⊥AB，P、Q是圆上两点，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.
错解 在平面AOC内，过点P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，则PD⊥平面BOC，连结DQ，
∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A―O―CB的平面角， ∴∠PDQ=900． ∵∠AOP=300， ∴∠POD=600． 在Rt△POD中， PD=Rsin600=R, 在Rt△DOQ中， DQ=Rsin450=R, ∴在Rt△PDQ中，PQ= = = ,
即P、Q两点间的距离是． 点击 此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误．判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③这两条射线都必须垂直于棱．误解中忽视了条件③中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲． 正解 同错解，得PD=R. 又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得 DQ2=0D2+0Q2一20D?OQcos450 = = R2 在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ= = = . 故P、Q两点之间的距离为. 试题详情
西南师大附中2008―2009学年度上期期末考试 高一化学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的班级、姓名、学号和考试科目用钢笔、铅笔分别填在机读卡和第II卷密封线内。 2．第I卷每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3．第II卷用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上。 4．考试结束，将机读卡和答题卷上交（第I卷和第II卷自己保留好，以备评讲） 第Ⅰ卷 选择题（共72分） 相对原子质量： H 1 He 4 C
12 N 14 O 16 Na 23 F 19 Al 27 Cl 35.5
K 39 Mn 55 Fe 56 Cu 64 Br 80 Ag 108 试题详情
高二化 学 试 题（B卷） 注意事项： 1. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 54分，第Ⅱ卷
46分，共100分，考试时间90分钟。 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 3．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能写在试卷上。答第Ⅱ卷时，用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 相对原子质量：H1 C12 N14
O16 F19 Na23 Mg24 Al27 P31
S32 Cl35.5 K39 Ca40 Mn55 Fe56 Cu64
Zn65 Br80 Ag108 I127 第Ⅰ卷（选择题 共54分） 试题详情
2008年哈九中第五次月考语文试题
2008年12月29日 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间7：40――10：00，140分钟。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷(选择题共30分) 注意事项： 1． 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案在试卷上的无效。 试题详情
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，求ｘ＋ｙ的最小值。
的范围也可用判别式法。
的最小值
