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两个原理与排列

〖考纲要求〗掌握两个原理，并能用这两面个原理分析和解决一些简单的问题，理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它们解决一些简单的问题。

〖双基回顾〗

1、分类计数原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有  N=m₁+m₂+…+m_n  种不同的方法。

2、分步计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事有N=m₁×m₂×…×m_n

种不同的方法。

二者区别：_____________________________________________________________________

3、排列的定义：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 由定义可知，两个排列相同，则这两个排列的元素和排列顺序均完全相同.

排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号表示。

全排列：_____________________________________________________________________

4、公式：=____________________   =____________   0！=_____________

〖课前训练〗

1、已知a∈｛3,4,5｝，b∈｛0,2,7,8｝,r∈｛1,8,9｝则方程(x－a)²＋(y－b)²=r²可以表示_______个不同的圆。

2、若a∈｛1,2,3,5｝, b∈｛1,2,3,5｝则方程y=表示的不同的直线条数为________。

3、一部纪录片在4个单位轮映，每一单位放映一场，可有_______种轮映次序。

4、若从集合P到集合Q=｛a、b、c｝所作的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有________个。

5、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分。一球队打完15场，积分33分。若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有………………………………（    ）

（A）3种子        （B）4种      （C）5种         （D）6种    

〖典例分析〗

例1、（1）6名同学报名参加数学、物理、英语竞赛，每人报且仅报一科，则不同的报名方法共有多少种？（2）从1到40正整数中每次取出两个数，使它们的和大于40，则不同的取法共有多少种？

例2、5名学生报名，参加4项体育比赛，每人限报一项，报名方法种数为多少？又他们争夺这4项比赛的冠军的可能性有多少种？

例3、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前四节）、体育排在下午（后两节），求不同的排法种数。

例4、由0、1、2、3、4、5、6、可以组成多少个没有重复数字的

（1）五位数；                     （2）五位偶数；          （3）能被5整除的五位数；

（4）能被3整除的五位数；         （5）比42310大的五位数.

〖课堂练习〗

1、4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起的排法有………………………………（    ）

（A）       （B）      （C）     （D）

2、A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数为……………………………………………………………………………………………（    ）

（A）60            （B）48         （C）36        （D）24

3、210的所有正约数的个数共有………………………………………………………………（    ）

（A）12个          （B）14个         （C）16个          （D）20个  

4、在5名运动员中，选4名参加4×100米接力赛，甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法不多少种？

〖课堂小结〗

1、分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事是______还是______。若是分类，则N=m₁＋m₂…+m_n;若是分步，则N= m₁?m₂…m_n

2排列问题的解题思想方法：

（1）直接法――体现合理分类（不重不漏）；（2）间接法――体现逆向思维（正难则反）

〖能力测试〗                        姓名____________________得分___________________

1、集合A=｛a,b,c｝,B=｛d,e,f,g｝,从集合A到集合B的不同映射个数是……………………（    ）

（A）24         （B）81         （C）6             （D）64

2、要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有………………………………………………（    ）

（A）   （B）   （C）   （D）  

3、用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有……………（    ）个

（A）24        （B）30       （C）40           （D）60

4、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆汽车有一位司机和一位售票员，则可能有的分配方案种数为……………………………………………………………………………（    ）

（A）          （B）         （C）             （D）

5、将三封信投入4个不同的邮筒，有________不同的投法，4名学生从3个不同的楼梯下楼，有________种不同的下法。

6从0、1、2、3、4五个数字中，任选3个作为二次函数的系数（各项系数均不相同），可以得到二

次函数_________个。

7、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式为________种。

8、甲厂生产的电视机外壳有3种，颜色有4种；乙厂生产的电视机外壳另有4种，颜色另有5种，问两个厂的电视机从外壳、颜色看共有多少种？

9、（1）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有复数字的正整数？

  （2）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有复数字，并且比13000大的正整数？

10、5名学生站成一排，其中A不排站在两端，B不能站在正中间，求不同的排法种数。

11、由数字0、1、2、3、4、5组成没有复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的有多少个？

组合与组合数

〖考纲要求〗理解组合的意义，掌握组合数的计算公式和组合数性质，能解决简单的组合应用题。

〖双基回顾〗

1、组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2、组合数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号表示.

3、组合数公式：（1）______________________（2）_______________________.

4、组合数性质：（1）______________________      （2）____________________________.

〖课前训练〗

1、下列四式总能成立的是…………………………………………………………………………（    ）

（A）     （B）  （C）  （D）(n＋1)!－n!=n＋1

2、某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有………………………………………………………………（    ）种。

（A）126              （B）84             （C）35         （D）21

3、某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共有…………………………………………………………………………………………（    ）种。

（A）27          （B）48         （C）21           （D）24

4、已知｛1，2｝Z ｛1，2，3，4，5｝，满足这个关系式的集合Z共有…………（    ）个。

（A）2           （B）6            （C）4           （D）8

5、正十二边形的对角线的条数是______________

6、有13个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组7个队，第二组6个队，各组都进行单循环赛，然后由各组的前两名共4个队进行单循环决定冠军、亚军，共需__________场比赛。

7、某毛巾厂生产的毛巾，每100条毛巾中有次品5条，在抽样检查时，抽三条进行检查。

  （1）共有_________种抽法。                  （2）恰有一条次品的抽法有____________种。

   （3）至少有一条次品的抽法有__________种。  （4）最多有一条次品的抽法有__________种。

8、一架天平有7个砝码，质量分别是1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克，如果每次称量至少有一个砝码，那么这架天平可以称量不同质量的物体的种数是__________。

〖典例解析〗

例1、设M和N是不重合的两个平面，在平面M上有5个点，在平面N上有4个点，由这些点最多可确定多少个不同位置的三棱锥（请用直接法和间接法两种方法解）？

例2、（1）图中有多少个矩形？

    （2）从A到B有多少种最短走法？

例3、10名演员，其中5名能歌，8名善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由一人独唱四人伴舞的节目，共有几种选法？

例4、在一张节目表中，原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法？

例5、二次函数y=ax²＋bx＋c的系数a、b、c是取自0，1，2，3，4这五个数中不同的值且a＞b,求这样的二次函数共有多少个？

例6、证明：＋＋＋……=

〖课堂小结〗

1、  组合数公式有连乘和阶乘两种形式，常分别用计算和证明。组合数的性质常用于等式证明和简

化计算。

2、解有限制条件的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（逆向思维）。

3、解组合应用题时，注意“至少”、“最多”、“恰好”等词的含义。

〖课堂练习〗

1、（1）某段铁路上有12个车站，共有多少种不同价格的客票？

（2）某校举行排球单循环赛，有8个队参加，共需要进行多少场比赛？

（3）平面内有12个点，任何3点不共线，以每3点为顶点作三角形，一共可作多少个三角形？

（4）某人射击6次，恰好有3枪命中的结果有多少种？

2、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有………………………………………………（    ）个。

（A）70         （B）64       （C）58        （D）52

3、计算：（1）＋＋＋……=         （2）若，则=

〖能力测试〗   姓名______________                            得分_________________

1、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取三个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有…………………………………………………………………………………（    ）种。

（A）36           （B）33         （C）30         （D）39 

2、在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少2件次品的抽法有…（    ）种。

（A）   （B）－   （C）＋    （D）－

3三名医生和六名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配一名医生和二名护士，不同的分配方法共有………………………………………………………………………………………（    ）种。

（A）90         （B）180        （C）270       （D）540

4、五项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包一项一程，则不同的承包方案有

………………………………………………………………………………………（    ）种。

     （A）30          （B）60        （C）150          （D）180

5、从1、2、……10这十个数字中任取四个数，使它们的和为奇数，共有___________取法。

6、设含有10个元素组成的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则______________。

7、从一组学生中选出四名学生当代表的选法有A种，从这组学生中选正、副组长各一人的选法有B种，若=，问这组学生共有多少人？

8、在一次考试中，要求学生做试卷中10个考题中的6个，并且要求至少包含后5题中的3个题，则考生答题的不同选法种类是多少？

9、某车间生产出某种产品50件，其中3件是次品，其余47件是合格品，从这50件产品中任意抽取5件，求其中至少有两件是次品的概率是多少？

*10、设集合A=｛1，2，3，…10｝，（1）设A的含3个元素的子集个数为n, 求n的值。

   （2）设A的含3个元素的每个子集中，3个元素的和分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，

求a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n的值。

排列、组合应用题

【考纲要求】

能正确地运用两个原理，合理地进行分类与分步，掌握解排列、组合混合题的一般方法。方案合理，步、类分清；有序排列，无序组合；类型对准；混合应用，先组合后排列。

【课前练习】

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试卷类型：A

饶平县第一中学2009年普通高考测试题（一）

数     学（理 科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页；答题卡共6面。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

       如果事件、互斥，那么                                          球的表面积公式

       如果事件、相互独立，那么                                   其中表示球的半径

                                                      球的体积公式

       如果事件在一次试验中发生的概率是                        

       那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率                  其中表示球的半径

第一部分（选择题，共40分）

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　　　　　　　桂林市2009届高三第二次调研考试题　　　姓名　　　

数学（理　科）                 　　　　　　                  

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平面的基本性质

〖知识点分布〗1、平面；2、平面的基本性质；3、平面图形的直观图的画法。

〖考纲要求〗1、掌握平面的基本性质；2、会用斜二测画法画水平放置的直观图；3、熟悉各种符号及其应用。

〖复习要求〗掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.

〖双基回顾〗

公理1：________________________________        ____.用符号表示为：_____________________.

公理2：_________________________________   _________.用符号表示为：_____________________.公理3：_____________________._______________________________________________________

推论1：_________________________________________________.

推论2：_________________________________________________.

推论3：___________________________________________________. 

公理1是证明____________________________________的依据；

公理2是证明___________________的依据；

公理3及其三个推论是证明__________________________________________.的依据。

2、斜二测画法的规则： ①________________      _____,②______________________________,

③___________________        ___,④_____________________________.

〖课前练习〗

1、下面几个命题：⑴两两相交的三条直线共面；⑵如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；⑶一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；⑷有三个内角是直角的空间四边形一定是矩形；⑸顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是……………………………………………………………………………………………………（    ）

  (A)2个               (B)3个              (C)4个             (D)5个

2、设E、F、G、H是空间四点.命题甲：E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF、GH不相交，那么甲是乙的…………………………………………………………………………………（    ）条件

(A)充分不必要         (B)必要不充分       (C)充要             (D)既不充分也不必要

3、由空间四点中某些确定平面的元素，可以确定平面的个数为…………………………………（    ）

(A)0个               (B)1个              (C)1个或者4个      (D)不存在

5、命题甲：空间中若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，它的逆命题记作乙，则（     ）

（A）甲、乙都正确；    （B）甲、乙都不正确；（C）甲不正确，乙正确；（D）甲正确、乙不正确。

〖典型例题〗

1、已知直线a∥b∥c，直线d与a、b、c分别交于A、B、C， 

求证：四直线a、b、c、d共面.

2、已知△ABC在平面a外，三边AB、BC、CA分别与平面a交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线.

3、如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2

（1）求证：E、F、G、H四点共面。

（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线。

4、三个平面两两相交，得到三条交线，求证：它们

或者互相平行或者交于一点.

〖课堂练习〗

1、一个平面把空间分为        部分；两个平面把空间分为         部分；三个平面把空间分

为               部分.

2、一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数

为………………………………………………………………（    ）

  (A)1              (B)2            (C)3            (D)4

3、正方体AC₁中，O是BD中点，A₁C与截面BDC₁交于P，那么C₁、P、O三点共线。其理由是               .

〖课堂小结〗

1、证明共面通常有方法：⑴先作一个平面，再证明有关的点在此平面内；⑵分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合.

2、公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：

⑴如果A、B是交点，那么AB是交线；

⑵如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；

⑶如果a∩b=l，点P是a、b的一个公共点，那么P∈l.

〖能力测试〗                                  班级           姓名             

1、a、b两个不重合平面，a上取3个点、b上取4个点，则由这些点最多可以确定平面的个数为（    ）

(A)30             (B)32             (C)35              (D)40

2、两条直线l、m都在平面a内并且都不在b内.命题甲：l、m中至少有一条与b相交；命题乙：与a、b相交.那么甲是乙的………………………………………………………………………………（    ）

(A)充分不必要     (B)必要不充分     (C)充要            (D)既不充分也不必要

3、给出下列命题：⑴梯形的四个顶点共面；⑵三条平行直线共面；⑶有三个公共点的两个平面重合；⑷每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.  其中正确命题的个数为……………（    ）

(A)1              (B)2              (C)3               (D)4

4、下列各种四边形中，可能不是平面四边形的是…………………………………………………（    ）

(A)内接于圆的四边形                 (B)四边相等的四边形

(C)仅有一组对边平行的四边形         (D)相邻两边成的角都是直角的四边形.

5、空间四点“无三点共线”是“四点共面”的……………………………………………………（    ）

(A)充分不必要     (B)必要不充分     (C)充要            (D)既不充分也不必要

6、如图正方体中，E、F分别是AA₁、CC₁上的点并且AE=C₁F，

求证：B、E、D₁、F共面.

7、正方体A―C₁中，设A₁C与平面ABC₁D₁交于Q，求证：B、

Q、D₁三点共线.

8、在三棱锥V―ABC中，D、E、F分别是VA、VB、VC上的点并且=.求证：直线DF、EG、AB共点.

空间两条直线

〖知识点分布〗1、空间的平行直线；2、异面直线及其夹角；3、异面直线的距离。

〖考纲要求〗

1、了解空间两条直线的位置关系；2、掌握异面直线所成的角与两条异面直线互相垂直的概念；能运用上述知识进行论证和解决有关问题。对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离。

〖双基回顾〗

1、公理4（平行线的传递性）：_____________             _________________________________.

2、等角定理：_________________________________________________________________________.

3、空间两直线的位置关系：_____________________________________________________________.

4、异面直线：

（1）定义：______________________________________          __________________________.

  （2）判定定理：_____________________________________________________________________.

  （3）异面直线所成的角：①定义：____________________________________   _______________.

②取值范围：___________________.

③两条异面直线互相垂直：_____________________________________________.

④所成角的求法：法一：平移法：选点、平移、解三角形，注意取值范围；  法二：向量法。

⑤异面直线的距离：

定义：__________________        ________.性质：两条异面直线的公垂线有且只有一条。

〖课前训练〗

1、异面直线是………………………………………………………………………………………（     ）

  （A）同在某一个平面内的两条直线。     （B）某平面内一条直线和这个平面外的一条直线。

（C）分别位于两个不同平面内的两条直线。（D）无交点且不共面的两条直线。

2、（91全国）若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有……（     ）

（A）12对         （B）24对          （C）36对          （D）48对

3、下列说法中，正确的是…………………………………………………………………………（     ）

①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

②垂直于同一条直线的两条直线平行。

③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

④若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线。

4、正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁和CC₁的中点，则AE与BF所成的角余弦为        。

6、如图正方体的棱长为a，那么

⑴与BA₁异面的棱分别有                      ；⑵BA₁与CC₁成角大小为        ；

⑶BA₁与AA₁成角大小为           ；⑷直线BC与AA₁的距离        ；

〖典型例题分析〗

1、ABCD是边长为1的正方形，O是中心，OP⊥平面ABCD，OP=2，M是OP中点.⑴求证：PC与BM是异

面直线；⑵求PC、BM所成角.

2、如图，在棱长都为a的四面体中，E、F分别为AD、BC的中点。

（1）求证：EF是AD和BC的公垂线。

（2）求EF的长。

（3）求异面直线AF与CE所成的角。

3、如图，在棱长为1的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O为侧面ADD₁A₁的中心，

求：（1）B₁O与BD所成角的大小。

（2）B₁O与C₁D₁的距离。

4、如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成角的大小为arccos，求BD与平面ADC所成的角。

〖课堂练习〗

1、已知直线a，如果直线b同时满足以下三个条件：⑴与a异面；⑵与a成角为定值；⑶与a的距离为定值.那么这样的直线b有        条.

2、已知异面直线a、b分别在平面a、b内，a∩b=c，那么c与a、b的关系为…………………（    ）

(A)与a、b都相交  (B)至少与a、b之一相交 (C)至多与a、b之一相交 (D)只能与a、b之一相交

3、（90年上海）设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是……………………（    ）

（A）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b。（B）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b。   （C）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面。

（D）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面。

4、（95年全国）如图，A₁B₁C₁?ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC1，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是…………………（    ）

（A）      （B）      （C）       （D）

〖能力测试〗                                       班级           .姓名             

1、甲：a、b异面；乙：a、b无公共点，那么甲是乙的…………………………………………（    ）

(A)充分不必要条件   (B)必要不充分条件    (C)充要条件         (D)既不充分也不必要条件

2、a、b异面，那么下列结论正确的是……………………………………………………………（    ）

(A)过不在a、b上的点P一定可以作直线与a、b都相交

(B)过不在a、b上的点P一定可以作平面与a、b都垂直

(C)过a一定可以作一个平面与b垂直        (D)过a一定可以作一个平面与b平行

4、设有三条直线a、b、c，其中b和c是一对异面直线，如果三条直线可确定的平面个数是n个，则n可能取的值是………………………………………………………………………………（    ）。

（A）0，1          （B）1，2           （C）0，2          （D）0，1，2

5、已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，且BD=AC，

   则EF与BD所成的角等于________________.

6、正四棱锥P─ABCD的底面边长和侧棱长相等，E是PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值等于_______________。

7（96年全国）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是____________.

8、（2001年江西）在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中，逆命题为真命题的是：___________________（把符合要求的命题序号都填上）。

9、如图，长方体AC₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分别是A₁B₁、BB₁的中点，求：

⑴EF、AD₁所成角；

⑵A₁D₁、BC₁的距离；

⑶AC₁、B₁C所成角.（提示：用空间向量知识）

空间的平行

〖考纲要求〗掌握直线与平面的平行的概念、性质、判定；平面与平面的平行的概念、性质、判定.

〖复习要求〗能运用直线与平面平行的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题. 能运用平面与平面平行的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题.

〖知识回顾〗

1、直线与平面平行的定义：

2、直线与平面平行的判定定理：

    ⑴线线平行线面平行；⑵平面a∥b，直线aÌaa∥b

3、直线与平面平行的性质定理：

线面平行线线平行

  4、两个平面平行的判定定理：

⑴平行于同一平面的两个平面平行；⑵垂直于同一直线的两个平面平行.

⑶如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

5、两个平面平行的性质定理：

⑴a∥β，aaa∥β；              ⑵a∥β，γ∩a=a，γ∩β=ba∥b.

⑶a∥β，a⊥aa⊥β；              ⑷夹在平行平面间的平行线段相等.

⑸过平面外一点，能并且只能作一个平面与已知平面平行.

〖课前练习〗

1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的…………………………………………（    ）

  (A)一条直线不相交     (B)两条直线不相交   (C)任意直线不相交   (D)无数直线不相交.

2、a、b表示平面，m、n表示直线，则m∥a的一个充分条件是………………………………（    ）

  (A) a⊥b并且m⊥b     (B) a∩b=n，m∥n    (C) m∥n，n∥a     (D) a∥b，mÌ.b

3、过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面………………………………………（    ）

  (A) 不存在            (B) 只有一个        (C)有无数个         (D) 不能确定

4、如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系是…………（    ）

(A)平行          (B)相交          (C)平行或者相交         (D)不能确定

5、下列命题正确的是………………………………………………………………………………（    ）

(A)如果两个平面有三个公共点，那么它们重合         

(B)过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行        

(C)在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行        

(D)如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

6、给出命题：⑴垂直于同一直线的两个平面平行；⑵平行于同一直线的两个平面平行；⑶垂直于同一平面的两个平面平行；⑷平行于同一平面的两个平面平行；其中正确命题个数有…（    ）

(A)1             (B)2              (C)3                   (D)4

7、 ⑴过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有                         个.

⑵过两条平行直线中的一条和另一条平行的平面有                         个.

〖典型例题〗

1、a∩b=l，a∥a，a∥b，求证：a∥l.

2、正方体AC₁中，M、N分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，E、F分别是B₁C₁、

C₁D₁的中点.

⑴求证：E、F、B、D共面；⑵求证：平面AMN∥平面EFDB.

3、直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，过A₁、B、C₁的平面与平面ABC交于直线l. ⑴确定l与A₁C₁的位置关系； ⑵如果AA₁=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90度，求A₁到l的距离.

4、如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. ⑴求证：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角为a，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH面积的最大值.

〖课堂练习〗

1、已知a、b、c是三条不重合直线，a、b、g是三个不重合的平面，下列命题：

⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥g，b∥ga∥b；⑶c∥a，c∥ba∥b；

⑷g∥a，b∥aa∥b；⑸a∥c，a∥ca∥a；⑹a∥g，a∥ga∥a.

其中正确的命题是…………………………………………………………………………………（    ）

(A)⑴、⑷、       (B) ⑴、⑷、⑸     (C)⑴、⑵、⑶        (D)⑵、⑷、⑹

2、平面M上有不共线的三点到平面N的距离相等，那么平面M、N的关系为……………………（    ）

(A) 平行          (B)重合            (C)平行或者重合      (D)不能确定

3、a、b异面，a⊥平面M，b⊥平面N，那么平面M、N的位置关系是…………………………（    ）

(A) 平行          (B)重合            (C)相交              (D)不能确定

4、直线a平面a，那么平面M∥平面a是直线a∥M的…………………………………………（    ）

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件  (C)充要条件          (D)既不充分也不必要条件

5、在空间，下列命题正确的是………………………………………………………………………（    ）

(A)如果两条直线a、b与直线c成等角，那么a∥b.

(B)如果两条直线a、b与平面M成等角，那么a∥b.

(C)如果直线a平面M、N成等角，那么M∥N.         

(D)如果平面P与平面M、N成等角，那么M∥N.

6、直线a∥直线b，a∥平面a，那么b与a的关系为                   .

〖能力测试〗                                         姓名                 得分       .

1、设直线a平面a，命题甲：平面a∥b；命题乙：直线a∥b，那么甲是乙的………………（    ）

(A)充分不必要条件     (B)必要不充分条件  (C)充要条件  (D)既不充分也不必要条件

2、a、b是异面直线，P是a、b外任意一点，下列结论正确的是………………………………（    ）

(A)过P可以作一个平面与a、b都平行       (B)过P可以作一个平面与a、b都垂直

(C)过P可以作一直线与a、b都平行         (D)过P可以作一直线与a、b成等角.

3、下列命题：

⑴直线上有两点到平面距离相等，那么直线与平面平行

⑵夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行与这两个平面

⑶直线m⊥平面a，直线n ⊥m，那么直线n∥a

⑷a、b是异面直线，则存在唯一的平面a，使它与a、b平行并且距离相等.

其中正确的命题是…………………………………………………………………………………（    ）

(A)⑴与⑵         (B) ⑵与⑶            (C)⑶与⑷           (D)⑵与⑷

4、两个平面距离12cm，一条直线与它们成60，则该直线被夹在这两个平面间的线段长为       .

6、AC、BD是夹在两个平行平面M、N间的两条线段，AC=13，BD=15，AC与BD在平面M内的射影长度之和为14，那么平面M、N的距离为         .

7、如图，两个全等的正方形ABCD与ABEF，M∈AE，N∈BD，并

且AM=DN，求证：MN∥平面BCE

空间的垂直关系

〖考纲要求〗掌握直线与平面的垂直的概念、性质、判定，掌握两个平面的位置关系，能运用两平面垂直的性质与判定进行论证和解决有关问题..

〖复习要求〗能运用直线与平面垂直的性质定理、判定定理进行论证和解决有关问题，熟练掌握两个平面的位置关系及其有关概念，会用两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理进行计算和证明.

〖知识回顾〗

1、直线与平面垂直的定义：

2、直线与平面垂直的判定定理：

⑴定义；       ⑵直线与平面内的两条相交直线垂直；       ⑶a∥b，a⊥ab⊥a

3、直线与平面垂直的性质定理：a⊥a且b⊥aa∥b

  4、特殊结论：

过一点有并且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有并且只有一个平面与已知直线垂直.

5、两个平面垂直的判定：

⑴定义；    ⑵判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

⑶如果一个平面和另一个平面的平行线垂直，那么这两个平面垂直.

  6、两个平面垂直的性质：

⑴两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

⑵两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

〖课前练习〗

1、直线l与平面内a的两条直线都垂直，那么l与a关系是………………………………………（    ）

  (A)垂直            (B)平行             (C)斜交         (D)不能确定.

2、“直线l与平面内a的无数直线都垂直”是“l⊥a”的………………………………………（    ）

  (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件  (C) 充要条件    (D) 既不充分也不必要条件

  5、过平面M 外的一条斜线a作平面N垂直于M，这样的平面N个数为……………………（    ）

  (A)0               (B)1                (C)2            (D)无数

6、过平面M外A、B两点有无数个平面与平面M垂直，那么………………………………（    ）

  (A)AB∥M                       (B)AB与M成60度角  

(C)AB⊥M                       (D)A、B到M等距离

〖典型例题〗

 1、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、

PC中点，求证：AB⊥MN.

2、在四面体S―ABC中，如果SA=SB=SC=a，∠BSC=90，∠ASC=∠ASB=60º，求证：平面SBC⊥平面ABC

3、平行六面体A―C₁中，各个面都是全等的菱形，求证：面ACC₁A₁⊥面BDD₁B₁.

4、如图，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，并且CE=CA=2BD，M是EA的中点，

求证：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA.