为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角, ∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P―ABCD的高,PB=AB?tg60°=a, . (2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE, 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,
在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°. 本小题主要考查线面关系和二面角的概念,以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖,
特征鲜明的好题.
(1)求证:AB1⊥平面CED; (2)求异面直线AB1与CD之间的距离; (3)求二面角B1―AC―B的平面角. 讲解:(1)∵D是AB中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA
∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面CDE; (2)由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=,AC=1 , ∴CD= ∴; (3)连结B1C,易证B1C⊥AC,又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角. 在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1, ∴∠B1AC=600 ∴, ∴, ∴ , ∴. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例3 如图a―l―是120°的二面角,A,B两点在棱上,AB=2,D在内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在内,ABC是等腰直角三角形∠ACB= (I)
求三棱锥D―ABC的体积; (2)求二面角D―AC―B的大小; (3)求异面直线AB、CD所成的角.
讲解: (1) 过D向平面做垂线,垂足为O,连强OA并延长至E. 为二面角a―l―的平面角.. 是等腰直角三角形,斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
(2)过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中,OA=2cos60°=1.且 (3)在平在内,过C作AB的平行线交AE于F,∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距离,即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctg 比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看. 例4
图①
图② 讲解: 设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为,
.
当且仅当
. 故当容器的高为时,容器的容积最大,其最大容积为 对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最方便的,请读者不妨一试. 另外,本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关,还请做做对照. 类似的问题是: 某企业设计一个容积为V的密闭容器,下部是圆柱形,上部是半球形,当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时,制造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小). 例5 已知三棱锥P―ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC, D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E. (1)求证:AP⊥平面BDE;
(2)求证:平面BDE⊥平面BDF; (3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥 P―ABC所成两部分的体积比. 讲解: (1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD. 由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC. 又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF//AP. 由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF. 又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF. (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2.则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误. 例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离) 为p的抛物线.
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(1)求圆锥的母线与底面所成的角; (2)求圆锥的全面积.
讲解: (1)设圆锥的底面半径为R,母线长为l, 由题意得:, 即, 所以母线和底面所成的角为 (2)设截面与圆锥侧面的交线为MON,其中O为截面与 AC的交点,则OO1//AB且 在截面MON内,以OO1所在有向直线为y轴,O为原点,建立坐标系,则O为抛物的顶点,所以抛物线方程为x2=-2py,点N的坐标为(R,-R),代入方程得 R2=-2p(-R),得R=2p,l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.
类似请思考如下问题: 一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆.已知椭圆的 长轴长为5,短轴长为4,被截后几何体的最短侧面母 线长为1,则该几何体的体积等于
. 例7 如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
(2)求证:AF⊥BD; (3) 求二面角B―FC―G的正切值. 讲解: ∵F、G分别为EB、AB的中点, ∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC, ∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC面ABC, ∴FD∥面ABC. (2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB ① 又FG∥EA,EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD. (3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求. 例8 如图,正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ∥平面CDD1C1; (2) 求证PQ⊥AD; (3) 求线段PQ的长. 讲解:
(1)在平面AD1内,作PP1∥AD与DD1交于点P1,在平面AC内,作 QQ1∥BC交CD于点Q1,连结P1Q1. ∵ ,
∴PP1QQ1 .? 由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1? ? 而P1Q1平面CDD1C1, 所以PQ∥平面CDD1C1? (2)AD⊥平面D1DCC1, ∴AD⊥P1Q1,? 又∵PQ∥P1Q1, ∴AD⊥PQ.? (3)由(1)知P1Q1 PQ, ,而棱长CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=. 在Rt△P1DQ1中,应用勾股定理, 立得 P1Q1=.? 做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,上的动点,试求的最小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示? 如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN= (1)
求MN的长; (2)
当为何值时,MN的长最小; (3)
当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。 立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关. 试题详情
2008年11月 绵阳南山中学2008年秋季高2010 级半期考试 化学试题
命题:张明盛 审核:卿明华 可能用到的相对原子质量: H
1 O 16 Al 27 第I 卷(选择题,共50 分) 试题详情
辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈6: 几何题 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程;
(2)计算出点P、Q的坐标;
(3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标. (1 ) 显然, 于是 直线 的方程为; (2)由方程组 解出 、; (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程. 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为 代入椭圆方程 得
化简后,得关于的一元二次方程
于是其判别式 由已知,得△=0.即 ① 在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得 令顶点P的坐标为(x,y),
由已知,得 代入①式并整理,得 , 即为所求顶点P的轨迹方程. 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 讲解:∵(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y,整理得 . 设的中点是,则 即 故所求k=±. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12. (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程. 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得
, 解出
(2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况:
i) 当k存在时,设l的方程为………………① 椭圆方程为 由 得 . 于是椭圆方程可转化为
………………② 将①代入②,消去得 , 整理为的一元二次方程,得 . 则x1、x2是上述方程的两根.且 ,
也可这样求解:
AB边上的高
ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得 由①②知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:…………① (这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.) 椭圆的方程为: 由得:于是椭圆方程可化为:……② 把①代入②并整理得: 于是是上述方程的两根. , AB边上的高, 从而 当且仅当m=0取等号,即
由题意知, 于是 .
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上. (1)求此椭圆的离心率; (2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程. 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为 得 , 根据韦达定理,得 ∴线段AB的中点坐标为(). 由已知得 故椭圆的离心率为 . (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为 解得 由已知得
故所求的椭圆方程为 . 例6 已知⊙M:轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点, (1)如果,求直线MQ的方程; (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 讲解:(1)由,可得由射影定理,得 在Rt△MOQ中, , 故, 所以直线AB方程是
(2)连接MB,MQ,设由 点M,P,Q在一直线上,得 由射影定理得 即 把(*)及(**)消去a,并注意到,可得
适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=。DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程; (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设,
试确定实数的取值范围. 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .
∵|
PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
C
A O
B ∵
∴曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程,得 设M1(, 则
① ② ③ i) L与y轴重合时,
ii) L与y轴不重合时, 由①得 又∵, ∵ 或 ∴0<<1 ,
∴ .
∵ 而 ∴ ∴ ∴ , ,
∴的取值范围是 . 值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.
例8 直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点. (1)求证:; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.
讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若l⊥x轴,则l的方程为. 若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得
. 综上可知 . (2)设,则CD的垂直平分线的方程为 假设过F,则整理得 ,. 这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点,因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本! 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即
|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, , ∴M在双曲线的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范例,你知道吗? 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合,
分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法. 试题详情
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