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    掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
    （1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
    （2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

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    在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N
    （1）计算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
    设S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
    相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
    所以2S=5•22=20利用类似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
    （2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
    （3）设Sn是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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    在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N
    （1）计算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
    设S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
    相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
    所以2S=5•22=20利用类似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
    （2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
    （3）设Sn是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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    （1）计算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
    设S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
    相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
    所以2S=5•22=20利用类似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
    （2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
    （3）设Sn是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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    在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
    （1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
    （2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

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