设t＞0，已知函数f （x）=x²（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线的斜率为k，当x₀∈（0，1]时，k≥-

1

2

恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，

2

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点A、B，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为以F₁F₂为直径的圆上异于F₁，F₂的动点，问

AP

•

BP

是否为定值，若是求出定值，不是说明理由？
（3）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，

2

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点A、B，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为以F₁F₂为直径的圆上异于F₁，F₂的动点，问

AP

•

BP

是否为定值，若是求出定值，不是说明理由？
（3）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(

3

，

3

2

)，离心率e=

1

2

，若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N(

x0

a

，

y0

b

)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

下列命题：
①若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′(

π

12

)=0；
②若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g'（2013）=2012!；
③若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
④函数f(x)=

sinx

2+cosx

的单调递增区间是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)．
其中真命题为．（填序号）