把卫星绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动.由中心天体对卫星的引力作为它绕中心天体的向心力.根据G＝man＝m得M＝.因此.只需测出卫星的运动半径r和周期T.即可算出中心天体的质量M.又由ρ＝.可以求出中心天体的密度. 典例精析1.万有引力与重力 [例1](2009•全国Ⅱ)如图所示.P.Q为某地区水平地面上的两点.在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布.密度为ρ,石油密度远小于ρ.可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔.则该地区重力加速度沿竖直方向:当存在空腔时.该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况下有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常 .为了探寻石油区域的位置和石油储量.常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G. (1)设球形空腔体积为V.球心深度为d.＝x.求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常, (2)若在水平地面上半径为L的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化.且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的.试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积. [解析](1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石.则该地区重力加速度便回到正常值.因此.重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 G＝mΔg ① 来计算.式中m是Q点处某质点的质量.M是填充后球形区域的质量. M＝ρV ② 而r是球形空腔中心O到Q点的距离 r＝ ③ Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向.重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影. Δg′＝Δg ④ 联立①②③④式得 Δg′＝ ⑤ (2)由⑤式得.重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为(Δg′)max＝ ⑥ (Δg′)min＝ ⑦ 由题设有 (Δg′)max＝kδ.(Δg′)min＝δ ⑧ 联立⑥⑦⑧式得.地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d＝ ⑨ V＝ ⑩ [思维提升]此题是万有引力定律实际应用的典型实例.求解的关键是综合题中所给信息.充分理解题意.采用补全法求重力加速度反常量值.并结合几何关系等求解空腔深度和体积. [拓展1]火星的质量和半径分别约为地球的和.地球表面的重力加速度为g.则火星表面的重力加速度约为( B ) A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g [解析]考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力.即G＝mg.故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝0.4.故B正确. 【
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