小船渡河问题分析 [例9]一条宽度为L的河.水流速度为vs.已知船在静水中的航速为vc.那么.(1)怎样渡河时间最短?(2)若vs＜vc怎样渡河位移最小?(3)若vs＞vc.怎样渡河船漂下的距离最短? 分析与解:(1)如图2甲所示.设船上头斜向上游与河岸成任意角θ.这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为:. 可以看出:L.Vc一定时.t随sinθ增大而减小,当θ=900时.sinθ=1,所以.当船头与河岸垂直时.渡河时间最短.. (2)如图2乙所示.渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于L.必须使船的合速度V的方向与河岸垂直.这是船头应指向河的上游.并与河岸成一定的角度θ.根据三角函数关系有:Vccosθ─Vs=0. 所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时.船才有可能垂直于河岸横渡. (3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度.则不论船的航向如何.总是被水冲向下游.怎样才能使漂下的距离最短呢?如图2丙所示.设船头Vc与河岸成θ角.合速度V与河岸成α角.可以看出:α角越大.船漂下的距离x越短.那么.在什么条件下α角最大呢?以Vs的矢尖为圆心.以Vc为半径画圆.当V与圆相切时.α角最大.根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为:θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为:. 此时渡河的最短位移为:. 思考:①小船渡河过程中参与了哪两种运动?这两种运动有何关系? ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么? 【
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