知识要点梳理 知识点一--物体的受力分析 ▲知识梳理 把指定物体在特定的物理情景中所受到的所有外力找出来.并画出受力图.这就是受力分析. 1.受力分析的顺序 先找重力.再找接触力.最后分析其他力. 2.受力分析的三个判断依据 (1)从力的概念判断.寻找对应的施力物体. (2)从力的性质判断.寻找产生的原因. (3)从力的效果判断.寻找是否产生形变或改变运动状态(是静止.匀速运动还是有加速度). ▲疑难导析 一.受力分析应注意的问题 在受力分析过程中应首先区分内力和外力.对几个物体作为整体进行受力分析时.这几个物体间的作用力为内力.不能在受力分析图中出现,当把某一物体单独隔离分析时.原来的内力变成了外力.要画在受力图上,另外在画受力分析图时.不能把合力与分力同时画出.因合力与分力是一种等效替代关系,当难以确定物体的某些受力情况时.可先根据物体的运动状态.再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力. 二.研究对象的选取 在进行受力分析时.第一步就是选取研究对象.选取的研究对象可以是一个物体.也可以是由几个物体组成的整体. 1.隔离法: 将某物体从周围物体中隔离出来.单独分析该物体所受到的各个力.称为隔离法. 隔离法的原则: 把相连结的各个物体看成一个整体.如果要分析的是整体内物体间的相互作用力.就要把跟该力有关的某物体隔离出来.当然.对隔离出来的物体而言.它受到的各个力就应视为外力了. 2.整体法: 把相互连结的几个物体视为一个整体.从而分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力.称为整体法. 整体法的基本原则: (1)当整体中各物体具有相同的加速度(加速度不相同的问题.中学阶段不宜采用整体法)或都处于平衡状态(即a=0)时.命题要研究的是外力.而非内力时.选整体为研究对象. (2)整体法要分析的是外力.而不是分析整体中各物体间的相互作用力整体法的运用原则是先避开次要矛盾突出主要矛盾这样一种辨证的思想. 3.整体法.隔离法的交替运用 对于连结体问题.多数情况既要分析外力.又要分析内力.这时我们可以采取先整体后隔离的交叉运用方法.当然个别情况也可先隔离(由已知内力解决未知外力)再整体的相反运用顺序. :如图所示. A.B.C三木块叠放在水平桌面上.对B木块施加一水平向右的恒力F.三木块共同向右匀速运动.已知三木块的重力都是G.分别对三木块进行受力分析. [解析]先从受力情况最简单的A开始分析.A受力平衡.竖直方向受向下的重力G, B对A的支持力=G,水平方向不受力.如图 (a).然后依次向下分析.B木块也受力平衡.竖直方向受三个力作用.重力G.A对B的压力=G.C对B的支持力=2G.水平方向受两个力.水平向右的恒力F.和与之平衡的水平向左的静摩擦力=F.如图 (b).C木块受力平衡.竖直方向受三个力作用:重力G.B对C的压力= 2G.桌面对C的支持力 =3G,水平方向受两个力.水平向右的静摩擦力=F.桌面对C的向左的滑动摩擦力= F.如图 (c)所示. 知识点二--共点力作用下物体的平衡 ▲知识梳理 1.共点力的平衡条件 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零.即或.. 2.解题方法 当物体在两个共点力作用下平衡时.这两个力一定等值反向,当物体在三个共点力作用 下平衡时.往往采用平行四边形定则或三角形定则,当物体在四个或四个以上共点力作用下 平衡时.往往采用正交分解法. 3.解共点力平衡问题的一般步骤 对所选研究对象进行受力分析.并画出受力图. (3)对研究对象所受力进行处理一般情况下需要建立合适的直角坐标系.用正交分解法处理. (4)建立平衡方程.若各力作用在同一直线上.可直接用的代数式冽方程.若几个力不在同一直线上.可用与联立列出方程组. (5)解方程.必要时对结果进行讨论. ▲疑难导析 一.对平衡状态的理解 对于共点力作用下物体的平衡.不要认为只有静止才是平衡状态.匀速直线运动也是物体的平衡状态.因此.静止的物体一定平衡.但平衡的物体不一定静止.还需要注意.不要把速度为零和静止状态相混淆.静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变.其加速度为零.而物体速度为零可能是物体静止.也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态.加速度不为零.由此可见.静止的物体速度一定为零.但速度为零的物体不一定静止.因此.静止的物体一定处于平衡状态.但速度为零的物体不一定处于平衡状态. 总之.共点力作用下的物体只要物体的加速度为零.它一定处于平衡状态.只要物体的加速度不为零.它一定处于非平衡状态. 二.平衡条件的推论 1.如果物体在两个力的作用下处于平衡状态.这两个力必定大小相等.方向相反.为一对平衡力. 2.如果物体在三个力的作用下处于平衡状态.其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等.方向相反. 3.如果物体受多个力作用而处于平衡状态.其中任何一个力与其他力的合力大小相等.方向相反. 4.当物体处于平衡状态时.沿任意方向物体所受的合力均为零. 5.三力汇交原理:如果一个物体受到三个非平行力作用而平衡.这三个力的作用线必定在同一平面内.而且必为共点力. 三.解答平衡问题时常用的数学方法 解决共点力的平衡问题有力的合成分解法.矢量三角形法.正交分解法.相似三角形法等多种方法.要根据题目具体的条件.选用合适的方法.有时将各种方法有机的运用会使问题更易解决.多种方法穿插.灵活运用.有助于能力的提高. 1.菱形转化为直角三角形 如果两分力大小相等.则以这两分力为邻边所作的平行四边形是一个菱形.而菱形的两条对角线相互垂直.可将菱形分成四个相同的直角三角形.于是菱形转化成直角三角形. 2.相似三角形法 如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中.力三角形与几何三角形相似.则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解. 3.正交分解法 共点力作用下物体的平衡条件(F=0)是矢量方程.求合力需要应用平行四边形定则.比较麻烦,通常用正交分解法把矢量运算转化为标量运算.正交分解法平衡问题的基本思路是: (1)选取研究对象:处于平衡状态的物体, (2)对研究对象进行受力分析.画受力图, (3)建立直角坐标系, (4)根据和列方程, (5)解方程.求出结果.必要时还应进行讨论. 四.解答平衡问题常用的物理方法 1.隔离法与整体法 隔离法 为了弄清系统内某个物体的受力和运动情况.一般可采用隔离法.运用隔离法解题的基本步骤是: (1)明确研究对象或过程.状态, (2)将某个研究对象.某段运动过程或某个状态从全过程中隔离出来, (3)画出某状态下的受力图或运动过程示意图, (4)选用适当的物理规律列方程求解. 整体法 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时.一般可采用整体法.运用整体法解题的基本步骤是: (1)明确研究的系统和运动的全过程, (2)画出系统整体的受力图和运动全过程的示意图, (3)选用适当的物理规律列方程求解. 隔离法和整体法常常需交叉运用.从而优化解题思路和方法.使解题简捷明快. 2.图解法分析动态平衡问题 所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量.使物体的状态发生缓慢变化.而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态.利用图解法解决此类问题的基本方法是:对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析.依据某一参量的变化.在同一图中做出物体在若干状态下的平衡力图(力的平行四边形简化为三角形).再由动态的力四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况. 3.临界状态处理方法-假设法 某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态.平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏.而尚未破坏的状态.解答平衡物体的临界问题时可用假设法.运用假设法解题的基本步骤是: 画受力图, (3)假设可发生的临界现象, (4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解. :重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上.另一端系在一条水平绳上.杆与水平面成角.如图所示.已知水平绳中的张力大小为.求地面对杆下端的作用力大小和方向? 解析:地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和摩擦力两个力的合力.这样杆共受三个彼此不平行的作用力.根据三力汇交原理知三力必共点.如图所示.设F与水平方向夹角为.用平衡条件有 ① ② 解①②式 得 , . 典型例题透析 类型一--如何进行受力分析 对物体进行受力分析.是解决力学问题的基础.是研究力学问题的重要方法.它贯穿于整个力学乃至整个教材之中.在整个高中物理学习的全过程中占有极重要的地位. 1.受力分析的步骤: (1)明确研究对象--确定受力物体, (2)隔离物体分析--将研究对象从周围物体中隔离出来.进而分析周围有哪些物体对它施加力, (3)画出受力分析-边分析边将力一一画在受力图上.准确标明各力的方向, (4)分析受力的顺序--先重力.后弹力.再摩擦力.然后分析其他的作用力. 2.受力分析的方法:假设法. 1.如图所示.斜面小车M静止在光滑水平面上.一边紧贴墙壁.若再在斜面上加一物体m.且M.m相对静止.试分析小车受哪几个力的作用? 思路点拨:对M和m的整体进行分析.它们必受到重力和地面的支持力.由于小车静止.由平衡条件知墙面时小车必无作用力.以小车为研究对象.如图所示.它受四个力:重力Mg.地面的支持力.m对它的压力和静摩擦力.由于m静止.可知和的合力必竖直向下. [点评]对物体受力分析时应注意以下几点: (1)不要把研究对象所受的力与它对其他物体的作用力相混淆, (2)对于作用在物体上的每一个力.都必须明确它的来源.不能无中生有, (3)分析的是物体受到哪些“性质力 .不能把“效果力 与“性质力 混淆重复分析. 举一反三 [变式]如图所示.A物体的上表面水平.它与B物体保持相对静止.一起沿着斜面匀速下滑.试分析A的受力情况. 解析:以A为研究对象.根据力的产生条件.可知它受到重力作用,由于它与B和斜面相互接触并挤压.于是受到B的压力和斜面支持力的作用,又因物体A沿斜面匀速下滑.所以它的下表面还受到斜面对它的摩擦力.那么A的上表面是否受摩擦力作用?这从A物体的受力及运动状态难以作出判断.我们可以转换思路.以B为研究对象.它与A一起做匀速运动.因此.它只可能受到竖直方向的重力和支持力这一对平衡力作用.不可能在水平方向上再受到摩擦力作用.如图(a)所示.由力的作用的相互性可知.A对B无摩擦力作用.则B对A也无摩擦力作用.所以物体A共受四个力作用.其受力图如图(b)所示. 类型二--用图解法处理物体的动态平衡问题 当物体受三个力而平衡.其构成的矢量三角形中一个力大小.方向都不变.另一个力的方向不变.当判断由第三个力的大小和方向变化引起的变化时可用图解法. 2.如图所示.三段绳子悬挂一物体.开始时OA.OB绳与竖直方向夹角=.现使O点保持不动.把OB绳子的悬点移到竖直墙与O点在同一水平面的C点.在移动过程中.则关于OA.OB绳拉力的变化情况.正确的是( ) A.OA绳上的拉力一直在增大 B.OA绳上的拉力先增大后减小 C.OB绳上拉力先减小后增大.最终比开始时拉力大 D.OB绳上拉力先减小后增大.最终和开始时相等 思路点拨:本题有两种解法--解析法和图解法.解析法是由平衡条件找出OA绳.OB绳拉力与某一角度的函数关系.根据角度的变化.判断绳拉力的变化.此法固然严谨.但演算较繁.解析法多用于定量分析.图解法直观.鲜明.多用于定性分析. 解析:对O点受力分析如图所示.因O点静止.两绳拉力的合力不变.方向顺时针移动.由动态图可知一直增大.先减小.后增大.又由对称性可知.最终和开始时相等.故A.D正确. 答案:AD 总结升华:本题为三力的动态平衡问题.对学生分析问题.解决问题的能力有了更高的要求.是高考热点. 举一反三 [变式]如图所示.小球用细绳系住放在倾角为的光滑斜面上.当细绳由水平方向逐渐向上偏移时.细绳上的拉力将( ) A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 答案:D 解析:先用数学方法解.设细绳向上偏移过程中的某一时刻.绳与斜面支持力N的夹角为. 作出力的图示如图甲.由正弦定理得 ∴ 讨论:当时. 当时. 当时. 可见.当时.T最小.即当绳与斜面支持力N垂直时.拉力最小.当绳由水平面逐渐向上偏移时.T先减小后增大.故选项D正确. 现用矢量三角形法解.因为G.N.T三力共点平衡.故三个力可以构成一个矢量三角形.其中G的大小和方向始终不变.N的方向也不变.大小可变.T的大小.方向都在变.在绳向上偏移的过程中.可以作出一系列矢量三角形如图乙所示.显然易见在T变化到与N垂直前.T是逐渐变小的.然后T又逐渐变大.故应选D.同时看出斜面对小球的支持力N是逐渐变小的.应用此方法可解决许多相关动态平衡问题. 类型三--相似三角形法在平衡问题中的应用 如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中.力三角形与几何三角形相似.则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解. 3.光滑的半球形物体固定在水平地面上.球心正上方有一光滑的小滑轮.轻绳的一端系一小球.靠放在半球上的A点.另一端绕过定滑轮后用力拉住.使小球静止.如图所示.现缓慢地拉绳.在使小球沿球面由A到B的过程中.半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( ) A.N变大.T变小 B.N变小.T变大 C.N变小.T先变小后变大 D.N不变.T变小 思路点拨:本题考查相似三角形法在平衡问题中的应用. 解析:可将图甲进一步画成图甲.设球面半径为R.BC=h.AC=L.AO=.选小球为研究对象.小球受三个力的作用而平衡.重力G.半球的支持力N.绳的拉力T.力的矢量三角形如图乙所示.由于它和△COA相似.可得 ∴ 因h.R.G.为定值.所以N为定值不变.T与L成正比.由A到B的过程中.L变小.因此T变小.故选项D正确. 答案:D 总结升华:物体受三个力而平衡.当三个力构成的矢量三角形因角度未知无法用正弦定理求解时.可优先考虑在边长已知的前提下用相似三角形法. 举一反三 [变式]如图所示.竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A.在Q的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B. A.B两质点因为带电而相互排斥.致使悬线与竖直方向成角.由于缓慢漏电使A.B两质点的带电量逐渐减小.在电荷漏完之前悬线对悬点P的拉力大小( ) A.保持不变 B.先变大后变小 C.逐渐减小 D.逐渐增大 答案:A 解析:对带电小球受力分析.利用力三角形与几何三角形相似列出比例式子.既可得出答案为A. 类型四--正交分解法在平衡问题中应用 正交分解法是解平衡问题最常用的方法.尤其是当物体受三个以上的力时.正交分解法更具有优越性.其关健是合理选取坐标及沿坐标轴方向列平衡方程. 4.如图中甲图所示.将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点.另一端固定在竖直墙上的B点.A点和B点到O点的距离相等.绳的长度为OA的两倍.图乙所示为一质量和半径均可忽略的动滑轮K.滑轮下悬挂一质量为m的重物.设摩擦力可忽略.现将动滑轮和重物一起挂到细绳上.在达到平衡时.绳所受的拉力是多大? 思路点拨:在受力分析的基础上.对物体的受力进行正交分解.根据力的平衡条件列平衡方程求解. 解析:如图所示.平衡时用.以及分别表示两边绳的拉力.长度以及绳与水平面之间的夹角. 因为绳与滑轮之间的接触是完全光滑无摩擦的.由此可知 ① 由水平方向力的平衡可知.即 ② 由题意与几何关系知 ③ ④ 由③④式得 ⑤ 由竖直方向力的平衡可知 ⑥ 由⑤⑥可得. 总结升华:正交分解法是解决共点力平衡问题的一般方法.应用正交分解法一般应注意以下几点: (1)该方法不受研究对象.所受外力多少的限制, (2)关于坐标轴的选取.原则上是任意的.就是说选择不同的坐标轴并不影响运算的结果.但具体应用时又以解题方便的坐标系为最佳选择.例如在静力学问题中一般选含外力多的方向为一个坐标轴的方向.而在动力学问题中一般选加速度或初速度方向为一个坐标轴的方向. 举一反三 [变式]如图所示.小球质量为m.两根轻绳BO.CO系好后.将绳固定在竖直墙上.在小球上加一个与水平方向夹角为的力F.使小球平衡时.两绳均伸直且夹角为.则力F的大小应满足什么条件? 解析:小球受力如图所示.根据物体平衡条件 在水平方向上 ① 在竖直方向上 ② 联立①②得 ③ ④ BO伸直的条件为 由③得 CO伸直的条件为 由④得 故力F的大小应满足的条件为. 类型五--共点力平衡中的临界与极值问题 1.临界问题:当某物理量变化时.会引起其他几个物理童的变化.从而使物体所处的平衡状态“恰好出现 或“恰好不出现 .在问题的描述中常用“刚好 .“刚能 .“恰能 等语言叙述. 解决这类问题的基本方法是假设推理法.即先假设怎样.然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解. 2.极值问题:平衡物体的极值.一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题. 解决这类问题的方法常用: (1)解析法:即根据物体的平衡条件列出方程.在解方程时.采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值. (2)图解法:即根据物体的平衡条件作出力的矢量图.画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析.确定最大值或最小值. 5.如图所示.不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为.轻杆BC与竖直墙夹角为.杆可绕C自由转动.若细绳承受的最大拉力为200 N.轻杆能承受的最大压力为300 N.则在B点最多能挂多重的物体? 思路点拨:本题重点考查假设推理法解决临界问题.先假设轻杆承受的压力达到最大值300 N.根据平衡条件及有关知识列方程求解.看一看满足还是不满足要求?再假设细绳的拉力达到最大值200 N.根据平衡条件及有关知识列方程求解.看一看满足还是不满足要求? 解析:B点受力分析如图所示. 将分别分解为与方向的与 所以:若=300 N.G=200N N<200 N.满足要求. 若=200 N.G=400 N = 200N>300 N.不满足要求 故最多挂346.4 N的重物. 总结升华:运用假设法解临界问题的基本步骤是: 画出研究对象的受力图, (3)假设可发生的临界现象, (4)列出满足发生的临界现象的平衡方程求解. 举一反三 [变式]城市中的路灯.无轨电车的供电线路等.常用三角形的结构悬挂.如图所示的是这种三角形结构的一种简化模型.图中硬杆OA可绕A点且垂直于纸面的轴进行转动.不计钢索OB和硬杆OA的重力..如果钢索OB最大承受拉力为N.求: (1)O点悬挂物的最大重力, (2)杆OA对O点的最大支持力. 解析: (1)如图所示.对O点进行受力分析.则有 由以上两式得 当取最大拉力N时.O点悬挂物的最大重力为N (2) 当取最大拉力N时.杆OA对O点的最大支持N. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

第二部分  牛顿运动定律

第一讲 牛顿三定律

一、牛顿第一定律

1、定律。惯性的量度

2、观念意义,突破“初态困惑”

二、牛顿第二定律

1、定律

2、理解要点

a、矢量性

b、独立作用性:ΣF → a ,ΣFx → ax 

c、瞬时性。合力可突变,故加速度可突变(与之对比:速度和位移不可突变);牛顿第二定律展示了加速度的决定式(加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”)。

3、适用条件

a、宏观、低速

b、惯性系

对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析

三、牛顿第三定律

1、定律

2、理解要点

a、同性质(但不同物体)

b、等时效(同增同减)

c、无条件(与运动状态、空间选择无关)

第二讲 牛顿定律的应用

一、牛顿第一、第二定律的应用

单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少,一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。

应用要点:合力为零时,物体靠惯性维持原有运动状态;只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。

1、如图1所示,在马达的驱动下,皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件(大小不计)在皮带左端A点轻轻放下,则在此后的过程中(      

A、一段时间内,工件将在滑动摩擦力作用下,对地做加速运动

B、当工件的速度等于v时,它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力

C、当工件相对皮带静止时,它位于皮带上A点右侧的某一点

D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态

解说:B选项需要用到牛顿第一定律,A、C、D选项用到牛顿第二定律。

较难突破的是A选项,在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上,建议使用反证法(t → 0 ,a →  ,则ΣFx   ,必然会出现“供不应求”的局面)和比较法(为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动?因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”)

此外,本题的D选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出

只有当L > 时(其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素),才有相对静止的过程,否则没有。

答案:A、D

思考:令L = 10m ,v = 2 m/s ,μ= 0.2 ,g取10 m/s2 ,试求工件到达皮带右端的时间t(过程略,答案为5.5s)

进阶练习:在上面“思考”题中,将工件给予一水平向右的初速v0 ,其它条件不变,再求t(学生分以下三组进行)——

① v0 = 1m/s  (答:0.5 + 37/8 = 5.13s)

② v0 = 4m/s  (答:1.0 + 3.5 = 4.5s)

③ v0 = 1m/s  (答:1.55s)

2、质量均为m的两只钩码A和B,用轻弹簧和轻绳连接,然后挂在天花板上,如图2所示。试问:

① 如果在P处剪断细绳,在剪断瞬时,B的加速度是多少?

② 如果在Q处剪断弹簧,在剪断瞬时,B的加速度又是多少?

解说:第①问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变”,故剪断瞬间弹簧弹力维持原值,所以此时B钩码的加速度为零(A的加速度则为2g)。

第②问需要我们反省这样一个问题:“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么?是A、B两物的惯性,且速度v和位移s不能突变。但在Q点剪断弹簧时,弹簧却是没有惯性的(没有质量),遵从理想模型的条件,弹簧应在一瞬间恢复原长!即弹簧弹力突变为零。

答案:0 ;g 。

二、牛顿第二定律的应用

应用要点:受力较少时,直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。受力比较多时,结合正交分解与“独立作用性”解题。

在难度方面,“瞬时性”问题相对较大。

1、滑块在固定、光滑、倾角为θ的斜面上下滑,试求其加速度。

解说:受力分析 → 根据“矢量性”定合力方向  牛顿第二定律应用

答案:gsinθ。

思考:如果斜面解除固定,上表仍光滑,倾角仍为θ,要求滑块与斜面相对静止,斜面应具备一个多大的水平加速度?(解题思路完全相同,研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答:gtgθ。)

进阶练习1:在一向右运动的车厢中,用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态,试求车厢的加速度。(和“思考”题同理,答:gtgθ。)

进阶练习2、如图4所示,小车在倾角为α的斜面上匀加速运动,车厢顶用细绳悬挂一小球,发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速度。

解:继续贯彻“矢量性”的应用,但数学处理复杂了一些(正弦定理解三角形)。

分析小球受力后,根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形,并找到相应的夹角。设张力T与斜面方向的夹角为θ,则

θ=(90°+ α)- β= 90°-(β-α)                 (1)

对灰色三角形用正弦定理,有

 =                                        (2)

解(1)(2)两式得:ΣF = 

最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度(即小车加速度)

答: 。

2、如图6所示,光滑斜面倾角为θ,在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球,当斜面加速度为a时(a<ctgθ),小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T 。

解说:当力的个数较多,不能直接用平行四边形寻求合力时,宜用正交分解处理受力,在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。

正交坐标的选择,视解题方便程度而定。

解法一:先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴,与a垂直的方向上建y轴,如图7所示(N为斜面支持力)。于是可得两方程

ΣFx = ma ,即Tx - Nx = ma

ΣFy = 0 , 即Ty + Ny = mg

代入方位角θ,以上两式成为

T cosθ-N sinθ = ma                       (1)

T sinθ + Ncosθ = mg                       (2)

这是一个关于T和N的方程组,解(1)(2)两式得:T = mgsinθ + ma cosθ

解法二:下面尝试一下能否独立地解张力T 。将正交分解的坐标选择为:x——斜面方向,y——和斜面垂直的方向。这时,在分解受力时,只分解重力G就行了,但值得注意,加速度a不在任何一个坐标轴上,是需要分解的。矢量分解后,如图8所示。

根据独立作用性原理,ΣFx = max

即:T - Gx = max

即:T - mg sinθ = m acosθ

显然,独立解T值是成功的。结果与解法一相同。

答案:mgsinθ + ma cosθ

思考:当a>ctgθ时,张力T的结果会变化吗?(从支持力的结果N = mgcosθ-ma sinθ看小球脱离斜面的条件,求脱离斜面后,θ条件已没有意义。答:T = m 。)

学生活动:用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”

进阶练习:如图9所示,自动扶梯与地面的夹角为30°,但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a = 4m/s2的加速度向上运动时,站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。重力加速度g = 10 m/s2,试求扶梯对人的静摩擦力f 。

解:这是一个展示独立作用性原理的经典例题,建议学生选择两种坐标(一种是沿a方向和垂直a方向,另一种是水平和竖直方向),对比解题过程,进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。

答:208N 。

3、如图10所示,甲图系着小球的是两根轻绳,乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳,方位角θ已知。现将它们的水平绳剪断,试求:在剪断瞬间,两种情形下小球的瞬时加速度。

解说:第一步,阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。

(学生活动)思考:用竖直的绳和弹簧悬吊小球,并用竖直向下的力拉住小球静止,然后同时释放,会有什么现象?原因是什么?

结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变(胡克定律)。

第二步,在本例中,突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点(从即将开始的运动来反推)。

知识点,牛顿第二定律的瞬时性。

答案:a = gsinθ ;a = gtgθ 。

应用:如图11所示,吊篮P挂在天花板上,与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住,当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间,P、Q的加速度分别是多少?

解:略。

答:2g ;0 。

三、牛顿第二、第三定律的应用

要点:在动力学问题中,如果遇到几个研究对象时,就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题,这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念,并适时地运用牛顿第三定律。

在方法的选择方面,则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本,后者有局限,也有难度,但常常使解题过程简化,使过程的物理意义更加明晰。

对N个对象,有N个隔离方程和一个(可能的)整体方程,这(N + 1)个方程中必有一个是通解方程,如何取舍,视解题方便程度而定。

补充:当多个对象不具有共同的加速度时,一般来讲,整体法不可用,但也有一种特殊的“整体方程”,可以不受这个局限(可以介绍推导过程)——

Σ= m1 + m2 + m3 + … + mn

其中Σ只能是系统外力的矢量和,等式右边也是矢量相加。

1、如图12所示,光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒,现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用,则棒中各部位的张力T随图中x的关系怎样?

解说:截取隔离对象,列整体方程和隔离方程(隔离右段较好)。

答案:N = x 。

思考:如果水平面粗糙,结论又如何?

解:分两种情况,(1)能拉动;(2)不能拉动。

第(1)情况的计算和原题基本相同,只是多了一个摩擦力的处理,结论的化简也麻烦一些。

第(2)情况可设棒的总质量为M ,和水平面的摩擦因素为μ,而F = μMg ,其中l<L ,则x<(L-l)的右段没有张力,x>(L-l)的左端才有张力。

答:若棒仍能被拉动,结论不变。

若棒不能被拉动,且F = μMg时(μ为棒与平面的摩擦因素,l为小于L的某一值,M为棒的总质量),当x<(L-l),N≡0 ;当x>(L-l),N = 〔x -〈L-l〉〕。

应用:如图13所示,在倾角为θ的固定斜面上,叠放着两个长方体滑块,它们的质量分别为m1和m2 ,它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1和μ2 ,系统释放后能够一起加速下滑,则它们之间的摩擦力大小为:

A、μ1 m1gcosθ ;    B、μ2 m1gcosθ ;

C、μ1 m2gcosθ ;    D、μ1 m2gcosθ ;

解:略。

答:B 。(方向沿斜面向上。)

思考:(1)如果两滑块不是下滑,而是以初速度v0一起上冲,以上结论会变吗?(2)如果斜面光滑,两滑块之间有没有摩擦力?(3)如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子,上面的滑块换成小球,它们以初速度v0一起上冲,球应对盒子的哪一侧内壁有压力?

解:略。

答:(1)不会;(2)没有;(3)若斜面光滑,对两内壁均无压力,若斜面粗糙,对斜面上方的内壁有压力。

2、如图15所示,三个物体质量分别为m1 、m2和m3 ,带滑轮的物体放在光滑水平面上,滑轮和所有接触面的摩擦均不计,绳子的质量也不计,为使三个物体无相对滑动,水平推力F应为多少?

解说:

此题对象虽然有三个,但难度不大。隔离m2 ,竖直方向有一个平衡方程;隔离m1 ,水平方向有一个动力学方程;整体有一个动力学方程。就足以解题了。

答案:F =  。

思考:若将质量为m3物体右边挖成凹形,让m2可以自由摆动(而不与m3相碰),如图16所示,其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F′,使三者无相对运动?如果没有,说明理由;如果有,求出这个F′的值。

解:此时,m2的隔离方程将较为复杂。设绳子张力为T ,m2的受力情况如图,隔离方程为:

 = m2a

隔离m,仍有:T = m1a

解以上两式,可得:a = g

最后用整体法解F即可。

答:当m1 ≤ m2时,没有适应题意的F′;当m1 > m2时,适应题意的F′=  。

3、一根质量为M的木棒,上端用细绳系在天花板上,棒上有一质量为m的猫,如图17所示。现将系木棒的绳子剪断,同时猫相对棒往上爬,但要求猫对地的高度不变,则棒的加速度将是多少?

解说:法一,隔离法。需要设出猫爪抓棒的力f ,然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程,解方程组即可。

法二,“新整体法”。

据Σ= m1 + m2 + m3 + … + mn ,猫和棒的系统外力只有两者的重力,竖直向下,而猫的加速度a1 = 0 ,所以:

( M + m )g = m·0 + M a1 

解棒的加速度a1十分容易。

答案:g 。

四、特殊的连接体

当系统中各个体的加速度不相等时,经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上,“新整体法”也将有一定的困难(矢量求和不易)。此时,我们回到隔离法,且要更加注意找各参量之间的联系。

解题思想:抓某个方向上加速度关系。方法:“微元法”先看位移关系,再推加速度关系。、

1、如图18所示,一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面,放置在光滑的水平面上,另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放,试求斜面的加速度。

解说:本题涉及两个物体,它们的加速度关系复杂,但在垂直斜面方向上,大小是相等的。对两者列隔离方程时,务必在这个方向上进行突破。

(学生活动)定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。

位移矢量示意图如图19所示。根据运动学规律,加速度矢量a1和a2也具有这样的关系。

(学生活动)这两个加速度矢量有什么关系?

沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐标,可得:

a1y = a2y             ①

且:a1y = a2sinθ     ②

隔离滑块和斜面,受力图如图20所示。

对滑块,列y方向隔离方程,有:

mgcosθ- N = ma1y     ③

对斜面,仍沿合加速度a2方向列方程,有:

Nsinθ= Ma2          ④

解①②③④式即可得a2 。

答案:a2 =  。

(学生活动)思考:如何求a1的值?

解:a1y已可以通过解上面的方程组求出;a1x只要看滑块的受力图,列x方向的隔离方程即可,显然有mgsinθ= ma1x ,得:a1x = gsinθ 。最后据a1 = 求a1 。

答:a1 =  。

2、如图21所示,与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ,可以无摩擦地在棒上滑动,开始时与棒的A端相距b ,相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动,加速度为a(且a>gtgθ)时,求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。

解说:这是一个比较特殊的“连接体问题”,寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面,只需要隔离滑套C就行了。

(学生活动)思考:为什么题意要求a>gtgθ?(联系本讲第二节第1题之“思考题”)

定性绘出符合题意的运动过程图,如图22所示:S表示棒的位移,S1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后,S1x表示S1在x方向上的分量。不难看出:

S1x + b = S cosθ                   ①

设全程时间为t ,则有:

S = at2                          ②

S1x = a1xt2                        ③

而隔离滑套,受力图如图23所示,显然:

mgsinθ= ma1x                       ④

解①②③④式即可。

答案:t = 

另解:如果引进动力学在非惯性系中的修正式 Σ* = m (注:*为惯性力),此题极简单。过程如下——

以棒为参照,隔离滑套,分析受力,如图24所示。

注意,滑套相对棒的加速度a是沿棒向上的,故动力学方程为:

F*cosθ- mgsinθ= ma            (1)

其中F* = ma                      (2)

而且,以棒为参照,滑套的相对位移S就是b ,即:

b = S = a t2                 (3)

解(1)(2)(3)式就可以了。

第二讲 配套例题选讲

教材范本:龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》,知识出版社,2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和习题。

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学习了内能及能量的转化和守恒后,同学们在一起梳理知识时交流了以下想法,你认为其中不正确的是(  )
A、做功改变物体的内能是不同形式的能的相互转化B、物体放出热量,发生了能量的转移,其温度一定降低C、燃气推动“嫦娥三号”探测器调姿发生了能量的转化D、能量在转化和转移的过程中总会有损耗,但能量的总量保持不变

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