已知：如图，直线l：y=

1

3

x+b，经过点M（0，

1

4

），一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0），设x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）求经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．

已知：如图，直线l：y=

1

3

x+b经过点M（0，

1

4

），一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），L，B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），L，A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数），设x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）若d=

1

2

，求经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式；
（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为 （-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴x=-

b

2a

．