如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=

3

x-2

3

，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是______；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=x-2，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？