在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2，以CD为直径作⊙O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，B(－2，0)．

(1)求C，D两点的坐标．

(2)求证：EF为⊙O₁的切线．

(3)探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AE＝GF＝GC．

(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；

(2)当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．