评价:检验与评价结果是否符合实际. 例9.已知f(x+1)=x2-3x+2. , [探路]换元法:用凑法换元或设法换元. [解法一] (1)改写已知等式.并且凑法: f(t+1)=t2-3t+2=(t+1)2-5t+1=(t+1)2-5(t+1)+6. ∴f(x)=x2-5x+6 2-52-5(x+a)+6 =2x2-10x+2a2+12 [解法二] (1)把已知等式改写为 f(t+1)=t2-3t+2 设 t+1=x.则t=x-1 f2-3(x-1)+2=x2-5x+6 即f(x)=x2-5x+6 (2)同“解法一 [评注] 解法一是“凑法 .解法二是“设法 .它们都是换元法.选用哪个方法要由题目的条件来确定. 如本题解法二较好.但下面的例2用解法二却是不好的. 例10.已知.求f. [探路] 用凑法换元. [解]把已知式先改写.并用凑法: ∴ ∴f=-18 [评注] 本题用“设法 .即“设.解出t 是不好的.请你试试看. 例11.求下列函数的定义域: (1), (2) [解](1) ∴函数的定义域是∪. (2) ∴函数的定义域是 [评注] 在(1)中.解|x+1|-2≠0得x≠1 , x≠-3.如果写成“x≠1.或x≠-3 .这是错误的,应写成 “x≠1.且x≠3 .这是一个重要的逻辑思维问题.不要用错逻辑联结词“或 .“且 .写出 上面的x{1.-3}是最好的. 在(2)中.解时.先解方程.经检验x=-1是增根.应舍去. 所以得x≠2. 求定义域最关键问题是列出自变量可取值的充要条件组.在解析式上.目前应记准列条件组的下述 法则: 有分式--分母非零, 有偶次根式--被开方式非负, 有零指数幂--底非零. 例12.的定义域是[-1.2].求函数y=f的定义域. 的定义域是[-1.2].求函数y=f(x)的定义域. [探路] 利用函数的符号意义来求其自变量的取值范围.先改写已知定义域的函数的自变量. [解] 的定义域是[-1.2]. ∴-1≤t≤2. 对于函数y=f有意义.应有 . ∴函数y=f的定义域是[0.1]. 的定义域是[-1.2] ∴-1≤t≤2 ∴-3≤1-2t≤3 对于函数f(x)的自变量x=1-2t∈[-3.3] ∴函数y=f(x)的定义域是[-3.3] [评注] 本题就是“抽象问题 .求抽象函数的定义域要由函数符号的意义来确定.其关键是抓住“谁是自 变量 .求定义域就是求自变量的取值范围.以本题之(2)为例:首先要弄清f是两个 不同的函数,因为它们的自变量都表示为x.为了防止混淆.把已知函数f.这 样函数f的自变量为t∈[-1,2].所求函数f(x)的自变量为x.再由x=1-2t , t∈[-1 , 2].求 得x∈[-3.3].即得f(x)的定义域.函数y=f和函数x=1-2t的“复合 .中学 所遇到的“抽象函数问题 就是这种复合函数的符号问题. 例13.求函数的值域. [探路]用“不等式法 或“反解法 . [解法一]用“不等式法 : 由x≠3得≠0(即) ∴y≠2.即得函数y的值域:{y|y∈R.且y≠2}. [解法二]用“反解法 .即“解x法 : ① 关于自变量x的方程①有x≠3的解y≠2. ∴函数y的值域是{y|y∈R.且y≠2} [评注] “不等式法 .已在前面说过.通过本例加以熟练. “反解法 就是把函数y=f等价地化为关于自变量x的方程.求值域就是求 该方程在定义域上有解的充要条件.但不必求出x.只要用各种方法消去x.用y表出这个充要条件.即可 解得值域.当这个充要条件可用判别式表出.那么.这种“反解法 就叫做“判别式法 .当这个充要条 件不能用判别式表出.即是判别式法失效! 例14.求函数的值域. [探路]用“判别式法 [解]该函数的定义域A=R ① (1)当y=0时.①x=0∈A.∴有y=0 (2)当y≠0时.①有实数解△=1-4y2≥0 Û. 由.得函数值域为[]. [评注] 判别式法应用在二次方程中.所以应注意讨论方程①是否为二次方程.因此本题要分类讨论. 本题“判别式法 有效.是因为二次方程①的根x∈R.没有限制.对于根x有限制的二次方程.△≥0 只是有实数根的必要条件.还要补加其它条件.使之成为充要条件才能求得值域.否则.要改用其他方法. 例15.求函数的值域. [探路]用换元法.设.则x可用t的有理式表示.从而化为二次函数的值域问题. [解]设.则t∈[0.+∞).x=1+t2 ∴ ∴ ∴函数的值域是[). [评注] 用换元法.必须注意:不但解析式要完全化为新元的函数.而且要求出新元的取值范围(新函数的定 义域).即建立完整的新函数.如本例的新函数是.t∈[0.+∞].否则.换元不等 价.容易造成错误. 例16.x为何值时.|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的值最小?并求出这个最小值. [探路] 显然.这是求函数. f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| 的值域问题.用分类法是可以解决的.但要分为五种情况.太麻烦了. 于是想用图象法来解.试试看.能不能非常简单.还有没有更妙的解法? [解法一] 这个函数的图象是折线.其最小值必在折点上取得.于是计算四个折点的函数值: f=5 , f(5)=9 ∴f(x)的最小值为5.当x∈[2.3]时取得. [解法三]画数轴: 设动点P的坐标为x.A.B.C.D的坐标分别为1.2.3.5.则f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| =|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=d 由图可知.当点P在线段BC上时.取得d0=|BC|+|AD|=1+4=5,当点P在线段BC的两侧延长线上时d>d0. ∴当x∈[2.3]时.取得f(x)min=5. [评注]解法一是图象法.但无需画图.其图象是开口向上的折线.在解题者的想象之中. 解法二是“图解法 --画数学式的几何图.图解法包括图象法.由本题.我们看到图解法包括: 图示法--画几何图或示意图 图解法是数形结合法. 【
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