应用问题 例10．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解:设容器底面短边为xm.则另一边长为m, 高为. 由3.2-2x>0且x>0.得0<x<1.6. 设容器的容积为ym3.则有y=x=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴ y'=-6x2+4.4x+1.6=0, 即15x2-11x-4=0.解得. 当x∈(0,1)时.y'>0,当x∈时.y'<0. ∴ 函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上单调递增.在[1.1.6]上单调递减. 因此.当x=1时.ymax=-2+2.2+1.6=1.8.这时.高为3.2-2×1=1.2. 故容器的高为1.2m时容器最大.最大容积为1.8m3. 例11．一艘渔艇停泊在距岸9km处.今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站.如果送信人步行每小时5km.船速每小时4km.问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省? 解析:如图示设A点为渔艇处.BC为海岸线.C为渔站.且AB=9km, 设D为海岸线上一点.CD=x.只需将时间T表示为x的函数. ∵ . 由A到C的时间T.则 令T'=0.解得x=3.在x=3附近.T'由负到正. 因此在x=3处取得最小值.又.比较可知T(3)最小. 训练题: 1．函数y=4x2(x-2), x∈[-2.2]的最小值是 . 2．一个外直径为10cm的球.球壳厚度为.则球壳体积的近似值为 . 3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是 .极小值是 . 4．做一个容积为256升的方底无盖水箱.问高为多少时最省材料? 参考答案: 1. –64 2. 19.63cm3 3. 4, 4. 设高为h.底边长为a.则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256.a∈, ∴ , a∈=, ∴ a=8. 显然当0<a<8时.S'(a)<0.当a>8时.S'(a)>0.因此当a=8时.S最小.此时h=4. 【
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