设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞

a 2n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足a1=p∈[0， 

1

2

)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中bn=an+2n+

2009

2n

，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由．

已知数列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，
（1）求数列{y_n}的通项公式；
（2）证明：数列{x_n}为等比数列；
（3）设数列{x_n}的前n项和为S_n，若对一切正整数n，S_n＜a恒成立，求实数a的取值范围．