已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函数f（x）的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由

已知函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象与h（x）=（x+

1

x

）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在（0，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

已知函数f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的图象经过点(1，

37

6

)，且在区间（-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）证明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

45

2

恒成立，试问：这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围；若不存在，说明理由．