20．如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1.中.AD=AA1=1.AB=2.点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D, (2)当E为AB的中点时.求点E到面ACD1的距离, ——青夏教育精英家教网—

20．如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1.中.AD=AA1=1.AB=2.点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D, (2)当E为AB的中点时.求点E到面ACD1的距离, (3)AE等于何值时.二面角D1-EC-D的大小为. [思路点拨]本题涉及立体几何线面关系的有关知识, [正确解答]解法(一) (1)证明:∵AE⊥平面AA1DD1.A1D⊥AD1.∴A1D⊥D1E (2)设点E到面ACD1的距离为h.在△ACD1中.AC=CD1=.AD1=. 故 (3)过D作DH⊥CE于H.连D1H.DE.则D1H⊥CE. ∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角. 设AE=x.则BE=2-x 解法(二):以D为坐标原点.直线DA.DC.DD1分别为x,y,z轴.建立空间直角坐标系.设AE=x.则A1.D1.A (1) (2)因为E为AB的中点.则E.从而. .设平面ACD1的法向量为.则也即.得.从而.所以点E到平面AD1C的距离为 (3)设平面D1EC的法向量 .∴ 由令b=1, ∴c=2,a=2-x. ∴ 依题意 ∴. . ∴AE=时.二面角D1-EC-D的大小为. [解后反思]立体几何的内容就是空间的判断.推理.证明.角度和距离.面积与体积的计算.这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA_l=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

(I)证明：D₁E上A_lD；

(Ⅱ)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(Ⅲ)在(II)的条件下，求D₁E与平面AD₁C所成角的正弦值．