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    22． 如图.设抛物线的焦点为F.动点P在直线上运动.过P作抛物线C的两条切线PA.PB.且与抛物线C分别相切于A.B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB. [思路点拨]本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识. [正确解答](1)设切点A.B坐标分别为. ∴切线AP的方程为: 切线BP的方程为: 解得P点的坐标为: 所以△APB的重心G的坐标为 . 所以.由点P在直线l上运动.从而得到重心G的轨迹方程为: (2)方法1:因为 由于P点在抛物线外.则 ∴ 同理有 ∴∠AFP=∠PFB. 方法2:①当所以P点坐标为.则P点到直线AF的距离为: 即 所以P点到直线BF的距离为: 所以d1=d2.即得∠AFP=∠PFB. ②当时.直线AF的方程: 直线BF的方程: 所以P点到直线AF的距离为: .同理可得到P点到直线BF的距离.因此由d1=d2.可得到∠AFP=∠PFB. [解后反思]解析几何主要的是点和曲线的位置关系.对称性.标准方程当中系数对位置的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题.常常涉及的内容是求轨迹方程.直线和圆锥曲线的位置关系.对称.最值.范围.做这类题目一定要认真细心,提高自己的运算能力和思维能力. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (本小题满分14分)
    如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.

    (1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
    (2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.

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    (本小题满分14分)

    设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点

           （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

           （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

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    (本小题满分14分)

    设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点

           （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

           （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

     

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    (本小题满分14分)
    设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
    （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
    （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

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    （08年山东卷理）(本小题满分14分)

    如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

    （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

    （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

    （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

     

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