题目列表(包括答案和解析)
7、9、10班同学做乙题,其他班同学任选一题,若两题都做,则以较少得分计入总分.
(甲)已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),,其中e=2.718 28…是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=-1,求f(x)的极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
(乙)定义在(0,+∞)上的函数,其中e=2.718 28…是自然对数的底数,a∈R.
(1)若函数f(x)在点x=1处连续,求a的值;
(2)若函数f(x)为(0,1)上的单调函数,求实数a的取值范围;并判断此时函数f(x)在(0,+∞)上是否为单调函数;
(3)当x∈(0,1)时,记g(x)=lnf(x)+x2-ax. 试证明:对,当n≥2时,有
已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在(2,f(2))处的切线与x轴平行.
(1)求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间;
(2)证明:对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程:
在(x1,x2)恒有实数解
(3)结合(2)的结论,其实我们有拉格朗日中值定理:若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数,且在区间(a,b)内导数都存在,则在(a,b)内至少存在一点x0,使得.如我们所学过的指、对数函数,正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明:
当0<a<b时,(可不用证明函数的连续性和可导性)
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
f(b)-f(a) |
b-a |
b-a |
b |
b |
a |
b-a |
a |
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