如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=

3

．点T在线段AO上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2

3

，点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；
（1）求∠OAB的度数；
（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2

3

），C（0，2

3

），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．