如图，抛物线y＝x²与直线相交于O，A两点，点P沿着抛物线从点A出发，按横坐标大于点A的横坐标方向运动，PS∥x轴，交直线OA于点S，PQ⊥x轴，SR⊥x轴，垂足为Q，R．

(1)当点P的横坐标为2时，回答下面问题：

①求S点的坐标．②求通过原点，且平分矩形PQRS面积的直线解析式．

(2)当矩形PQRS为正方形时，求点P的坐标．

我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax²＋bx(a≠0)

(1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a＝________；当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是________．

(2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b；

(3)现有一组过原点的抛物线，顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁，B₂，…，B_n，以线段A_nB_n为边向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若这组抛物线中有一条经过D_n，求所有满足条件的正方形边长．

在解题目：“当x＝1949时，求代数式的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．

已知，如图，菱形ABCD，对角线AC＝6 cm，BD＝8 cm，点P从点A出发沿线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，速度为1cm/秒；同时，点E从点C出发沿CA向点A运动，速度为cm/秒，过点E作EF∥CD交BD于点F．设点P运动了x秒．

(1)用含x的代数式填空：PD＝________cm，AE＝________cm．

(2)当x为何值时△AEP和△OEF相似．

(3)当2.5＜x＜5时，设S_△AEP＋S_△PEF＝ycm²，求y关于x的函数解析式．

(4)以O为原点建立直角坐标系，是否存在抛物线同时过点A、E、F、P，若存在，直接写出x的值，若不存在，说明理由．