如图，边长为2的正方形ABCD，E是BC的中点，沿AE，DE将折起，使得B与C重合于O．

（Ⅰ）设Q为AE的中点，证明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一问中，利用线线垂直，得到线面垂直，然后利用性质定理得到线线垂直。取AO中点M，连接MQ，DM，由题意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因为Q为AE的中点，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二问中，作MNAE,垂足为N，连接DN

因为AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因为AODM ，DM平面AOE

因为MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中点M，连接MQ，DM，由题意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因为Q为AE的中点，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足为N，连接DN

因为AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因为AODM ，DM平面AOE

因为MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值为

设数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“J_k型”数列．

（1）若数列是“J₂型”数列，且，，求；

（2）若数列既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列是等比数列.

【解析】1）中由题意，得，，，，…成等比数列，且公比，

所以．

（2）中证明：由{}是“j₄型”数列，得，…成等比数列，设公比为t. 由{}是“j₃型”数列，得

，…成等比数列，设公比为；

，…成等比数列，设公比为；

…成等比数列，设公比为；

 [番茄花园1] （本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值。

 (Ⅰ)解：由题意可知

absinC=,2abcosC.

所以tanC=.

因为0<C<，

所以C=.

（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)

                        =sinA+cosA+sinA=sin(A+)≤.

当△ABC为正三角形时取等号，

所以sinA+sinB的最大值是.

 [番茄花园1]1.

如图,已知圆锥体的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.

（1）求圆锥体的体积；

（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

【解析】本试题主要考查了圆锥的体积和异面直线的所成的角的大小的求解。

第一问中，由题意，得，故

从而体积.2中取OB中点H，联结PH,AH.

由P是SB的中点知PH//SO，则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.在OAH中，由OAOB得；

在中，，PH=1/2SB=2，，

则，所以异面直线SO与P成角的大arctan

解：（1）由题意，得，

故从而体积.

（2）如图2，取OB中点H，联结PH,AH.

由P是SB的中点知PH//SO，则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.

在OAH中，由OAOB得；

在中，，PH=1/2SB=2，，

则，所以异面直线SO与P成角的大arctan

已知函数（为实数）.

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围.

【解析】第一问中由题意可知：. ∵ ∴  ∴.

当时，； 当时，. 故.

第二问.

当时，,在上有，递增，符合题意；  

令，则，∴或在上恒成立.转化后解决最值即可。

解：(Ⅰ) 由题意可知：. ∵ ∴  ∴.

当时，； 当时，. 故.

(Ⅱ) .

当时，,在上有，递增，符合题意；  

令，则，∴或在上恒成立.∵二次函数的对称轴为，且

∴或或或

  或.   综上