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    自然状态下的鱼类是一种可再生资源.为持续利用这一资源.需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量.n∈N*.且x1＞0.不考虑其它因素.设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比.死亡量与xn2成正比.这些比例系数依次为正常数a.b.c. (Ⅰ)求xn+1与xn的关系式, (Ⅱ)猜测:当且仅当x1.a.b.c满足什么条件时.每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明) (Ⅱ)设a＝2.b＝1.为保证对任意x1∈(0,2).都有xn＞0.n∈N*.则捕捞强度b的 最大允许值是多少?证明你的结论. 解(I)从第n年初到第n+1年初.鱼群的繁殖量为axn.被捕捞量为bxn.死亡量为 (II)若每年年初鱼群总量保持不变.则xn恒等于x1. n∈N*.从而由(*)式得 因为x1>0.所以a>b. 猜测:当且仅当a>b.且时.每年年初鱼群的总量保持不变. (Ⅲ)若b的值使得xn>0.n∈N* 由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地.有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1. 而x1∈.所以 由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当x1∈ .b=1时.都有xn∈, n∈N* ①当n=1时.结论显然成立. ②假设当n=k时结论成立.即xk∈, 则当n=k+1时.xk+1=xk(2-xk­)>0. 又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈.故当n=k+1时结论也成立. 由①.②可知.对于任意的n∈N*.都有xn∈(0,2). 综上所述.为保证对任意x1∈, 都有xn>0. n∈N*.则捕捞强度b的最大允许值是1. 【查看更多】

     

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    （05年湖南卷理）（14分）

    　　    自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

       （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

       （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

    要求证明）

    　 （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

             最大允许值是多少？证明你的结论.

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