已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）当0＜a＜

1

2

，x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为-

3

4

，求实数a的值．
（II）如果x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1．试求a的取值范围．
（III）令a=1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n），数列{

g(n)

2n

}的前n项的和为T_n，求证：T_n＜7．

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）当0＜a＜，x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为，求实数a的值．
（II）如果x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1．试求a的取值范围．
（III）令a=1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n），数列的前n项的和为T_n，求证：T_n＜7．

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）当0＜a＜，x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为，求实数a的值．
（II）如果x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1．试求a的取值范围．
（III）令a=1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n），数列的前n项的和为T_n，求证：T_n＜7．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．