题目列表(包括答案和解析)
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已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
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A.m<n | B.m=n |
C.m>n | D.m,n的大小不确定 |
将用二分法求方程x2-2=0的近似解(精确度为0.005)的一个算法补充完整.
(1)令f(x)=x2-2,因为f(1)<0,f(2)>0,所以设x1=1,x2=2.
(2)令m= ① ,判断f(m)是否为0.若是,则m为所求;否则,将继续判断 ② .
(3)若 ③ ,则令x1=m;否则令x2=m.
(4)判定 ④ <0.005是否成立.若成立,则x1,x2之间的任意取值均为满足条件的近似解;若不成立,则 ⑤ .
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A、4个 | B、3个 | C、2个 | D、1个 |
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